Oszacować stałą

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Oszacować stałą

Post autor: max123321 »

Niech \(\displaystyle{ t}\) bedzie naturane, \(\displaystyle{ 0 < \epsilon < 1}\). Liczbe \(\displaystyle{ n \le x}\) nazywamy \(\displaystyle{ (\epsilon, t)}\) zrównoważoną gdy każdy dzielnik pierwszy \(\displaystyle{ n}\) jest zlokalizowany w przedziale \(\displaystyle{ \left( (1 − \epsilon)x^{1/t}, x^{1/t}\right] }\). Wykorzystując lemat, że jeśli \(\displaystyle{ t < \sqrt{- \frac{\log x}{\log (1-\epsilon)} } }\) to taka liczba ma co najwyżej \(\displaystyle{ \Omega(n) \le t}\) dzielników pierwszych, pokazać, że przy powyższym ograniczeniu na t istnieje co najmniej \(\displaystyle{ C(\epsilon)x(\log x)t}\) liczb \(\displaystyle{ (\epsilon, t)}\) zrównoważonych \(\displaystyle{ \le x}\). Jak można oszacować stałą \(\displaystyle{ C(\epsilon)}\)? Wsk: wykorzystać tw. o liczbach pierwszych w wersji asymptotycznej.

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?
ODPOWIEDZ