twierdzenie liczb pierwszych jako ograniczenie

[Bran]

Dzień dobry,
w jednej z książek, które staram się przerabiać jest podane twierdzenie

Istnieją \(\displaystyle{ 0 < C < 1 < D,}\) że \(\displaystyle{ C\frac{n}{\ln n} < \pi (n) < D \frac{n}{\ln n}}\)

Czebyszew wykazał, że nierówność zachodzi dla \(\displaystyle{ C = 0,92129}\) i \(\displaystyle{ D = 1,10555}\)

i zaraz potem autor twierdzi:
"Okazuje się, że zachodzi mocniejsze, tak zwane twierdzenie o liczbach pierwszych."

Moje pytanie dotyczy właśnie tego zdania... Czy to oznacza, że twierdzenie o liczbach pierwszych pozwala nam jeszcze ściślej oszacować stałe \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ D}\)?
Jeżeli tak, to ktoś mógłby mi podpowiedzieć w jaki sposób?
Jeżeli nie, to na czym polega wyższość tego twierdzenia nad przytoczonym powyżej?

[Janusz Tracz]

Mocniejszość \(\displaystyle{ \text{PNT}}\) (prime number theorem) polega na tym, że poprawia ono stałe \(\displaystyle{ C,D}\) oszacowania (mało tego w optymalny sposób). Innymi słowy z \(\displaystyle{ \text{PNT}}\) natychmiast wynika istnienie takich stałych \(\displaystyle{ C,D}\) jak w twierdzenie Czebyszewa. \(\displaystyle{ \text{PNT}}\) mówi, że dla dowolnego \(\displaystyle{ \epsilon>0}\) istnieje \(\displaystyle{ N_{\epsilon}}\), że dla \(\displaystyle{ n>N_{\epsilon}}\) będzie:

\(\displaystyle{ (1-\epsilon)\frac{n}{\ln n} < \pi (n) <(1+\epsilon) \frac{n}{\ln n}}\)

Zatem kładąc odpowiadanie małe epsilon mamy implikacje \(\displaystyle{ \text{PNT} \Rightarrow \text{tw. Czebyszewa}}\) ale nie odwrotnie.

Swoją drogą \(\displaystyle{ \text{PNT}}\) też nie jest najmocniejsze. Oczywiście stałych nie poprawimy ale można lepiej zrozumieć asymptotykę. Przykładowo \(\displaystyle{ \text{tw. Pierre Dusartsa} \Rightarrow \text{PNT}}\). Mówi ono tyle, że dla odpowiednio dużego \(\displaystyle{ x}\) (nawet podaje konkretnie jakiego) mamy:

\(\displaystyle{ {\frac {x}{\ln x}}\left(1+{\frac {1}{\ln x}}\right)<\pi (x)<{\frac {x}{\ln x}}\left(1+{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {2.51}{(\ln x)^{2}}}\right)}\)

a to jest dużo mocniejsze niż \(\displaystyle{ \text{PNT}}\).

[Bran]

W pracy dyplomowej zajmuję się hipotezą Legendre'a, która mówi, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego istnieje taka liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\), że \(\displaystyle{ n^2 < p < (n+1)^2}\)

i z tego co mówisz wynika, że dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\) ona zachodzi, bo wystarczy wziąć \(\displaystyle{ \epsilon = 0,000.000.000.01}\) i wolfram twierdzi, że zachodzi:

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input/?i=0.99999999999%5B%28%28n%2B1%29%5E2%29%2F%28ln%28%28n%2B1%29%5E2%29%29%5D+-+1.00000000001%5B%28n%5E2%29%2F%28ln%28n%5E2%29%29%5D+%3E+1

Co oczywiście natychmiast daje tezę (dla tych \(\displaystyle{ n,}\) dla których możemy wziąć takie \(\displaystyle{ \epsilon}\)).

Czy dobrze myślę?
Z powyższych względów fajnie byłoby wiedzieć, które \(\displaystyle{ n}\) nam zapewnia, że już wszędzie wyżej mamy spełnioną tą nierówność. Czy PNT pozwala nam to zrobić?

[Janusz Tracz]

W pracy dyplomowej zajmuję się hipotezą Legendre'a, która mówi, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego istnieje taka liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\), że \(\displaystyle{ n^2 < p < (n+1)^2}\)

Ta hipoteza jest chyba nierozwiązana póki co? Więc ambitne zadanie jak na pracę dyplomową.

i z tego co mówisz wynika, że dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\) ona zachodzi, bo wystarczy wziąć \(\displaystyle{ \epsilon = 0,000.000.000.01}\) i wolfram twierdzi, że zachodzi:

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input/?i=0.99999999999%5B%28%28n%2B1%29%5E2%29%2F%28ln%28%28n%2B1%29%5E2%29%29%5D+-+1.00000000001%5B%28n%5E2%29%2F%28ln%28n%5E2%29%29%5D+%3E+1

Co oczywiście natychmiast daje tezę (dla tych \(\displaystyle{ n,}\) dla których możemy wziąć takie \(\displaystyle{ \epsilon}\)).

W to nie uwierzę. Po pierwsze ja twierdzę jedynie, że od pewnego momentu zachodzi:

\(\displaystyle{ (1-\epsilon)\frac{n}{\ln n} < \pi (n) <(1+\epsilon) \frac{n}{\ln n}}\)

po drugie nie widzę wynikania, jak by się to miało przydać w hipotezie Legendre'a? Nie widzę związku. Wolfram coś liczy ale nie wiem co to jest. I po trzecie skoro od ponad 100 lat nikt tego nie zrobił to przypuszczam, że my opierając się na ogólnie znanym fakcie nie odkryjemy niczego niezwykłego.

Z powyższych względów fajnie byłoby wiedzieć, które \(\displaystyle{ n}\) nam zapewnia, że już wszędzie wyżej mamy spełnioną tą nierówność. Czy PNT pozwala nam to zrobić?

\(\displaystyle{ \text{PNT}}\) raczej słabo się do tego nada aby jawnie określić \(\displaystyle{ N_{\epsilon}}\) jako funkcję \(\displaystyle{ \epsilon}\). \(\displaystyle{ \text{PNT}}\) jedynie stwierdza istnienie takiego \(\displaystyle{ N_{\epsilon}}\). Jak już chcesz jakieś konkretne asymptotyczne oszacowania \(\displaystyle{ \pi (x)}\) z których \(\displaystyle{ \text{PNT}}\) wynika to szukaj wspomnianych oszacowań Pierre Dusartsa. Przykładowo:

\(\displaystyle{ {\frac {x}{\ln x}}\left(1+{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {2}{\ln ^{2}x}}\right) \stackrel{x \ge 88789 }{\le} \pi (x)\stackrel{x \ge 2}{\le} {\frac {x}{\ln x}}\left(1+{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {2}{\ln ^{2}x}}+{\frac {7.59}{\ln ^{3}x}}\right)}\)

choć i tak nie widzę jak to się ma do hipotezy Legendre'a. .

[Bran]

Ta hipoteza jest chyba nierozwiązana póki co? Więc ambitne zadanie jak na pracę dyplomową.

Tak, nie jest jeszcze rozwiązana - oczywiście nie mam w planach jej rozwiązać, ale zrobię co w mojej mocy, by ją blisko poznać.

W to nie uwierzę. Po pierwsze ja twierdzę jedynie, że od pewnego momentu zachodzi:

\(\displaystyle{ (1-\epsilon)\frac{n}{\ln n} < \pi (n) <(1+\epsilon) \frac{n}{\ln n}}\)

po drugie nie widzę wynikania, jak by się to miało przydać w hipotezie Legendre'a? Nie widzę związku. Wolfram coś liczy ale nie wiem co to jest. I po trzecie skoro od ponad 100 lat nikt tego nie zrobił to przypuszczam, że my opierając się na ogólnie znanym fakcie nie odkryjemy niczego niezwykłego.

Jestem daleki od uznania się za osobę, która mogłaby poprawić dotychczasowe wyniki. Po prostu dość długo się nad tym zastanawiam i próbuję przedstawić to w językach różnych twierdzeń (będzie o tym cały rozdział w mojej pracy) i to co powiedziałeś rzuciło mi właśnie taki pomysł i już się z niego tłumaczę (przepraszam jeśli to co piszę jest chaotyczne, ale jeszcze nie opanowałem pisania rozumowań matematycznych w zwięzły sposób)

Ustalmy \(\displaystyle{ \epsilon = 0,000.000.000.01}\) (dla uproszczenia zapisu będę pisał \(\displaystyle{ \epsilon}\) mając na myśli tą konkretną wartość)
Od pewnego \(\displaystyle{ n}\) zachodzi:

\(\displaystyle{ (1-\epsilon)\frac{n}{\ln n} < \pi (n) <(1+\epsilon) \frac{n}{\ln n}}\)

Tak mi napisałeś (ufam, że tak).

kładąc pod \(\displaystyle{ n}\) odpowiednio \(\displaystyle{ n^2}\) i \(\displaystyle{ (n+1)^2}\)

\(\displaystyle{ (1-\epsilon)\frac{n^2}{\ln n^2} < \pi (n^2) <(1+\epsilon) \frac{n^2}{\ln n^2}}\)

i

\(\displaystyle{ (1-\epsilon)\frac{(n+1)^2}{\ln (n+1)^2} < \pi ((n+1)^2) <(1+\epsilon) \frac{(n+1)^2}{\ln (n+1)^2}}\)

Teraz przedstawmy hipotezę Legendre'a za w takiej postaci:
\(\displaystyle{ \pi((n+1)^2) - \pi(n^2) \ge 1}\)

myślę, że tego nie muszę tłumaczyć.

Więc lećmy dalej, z naszej nierówności otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \pi (n^2) <(1+\epsilon) \frac{n^2}{\ln n^2}}\)

i

\(\displaystyle{ (1-\epsilon)\frac{(n+1)^2}{\ln (n+1)^2} < \pi ((n+1)^2)}\)

Jeżeli więc w hipotezie, po lewej stronie nierówności zmniejszymy odjemną i zwiększymy odjemnik, to uzyskamy liczbę mniejszą
\(\displaystyle{ \pi((n+1)^2) - \pi(n^2) > (1-\epsilon)\frac{(n+1)^2}{\ln (n+1)^2} - (1+\epsilon) \frac{n^2}{\ln n^2}}\)

teraz sprawdzam w wolframie (link w poprzednim poście), że mogę ograniczyć z prawej strony:
\(\displaystyle{ \pi((n+1)^2) - \pi(n^2) > (1-\epsilon)\frac{(n+1)^2}{\ln (n+1)^2} - (1+\epsilon) \frac{n^2}{\ln n^2} \ge 1}\)

Więc dla naszego \(\displaystyle{ \epsilon}\) hipoteza zachodzi. Co znaczy, ze zachodzi od pewnego miejsca.

[Janusz Tracz]

Pomijając drobne problemy techniczne z opisem rozumowanie jest moim zdaniem poprawne aż do stwierdzenia, że:

\(\displaystyle{ \pi((n+1)^2) - \pi(n^2) > (1-\epsilon)\frac{(n+1)^2}{\ln (n+1)^2} - (1+\epsilon) \frac{n^2}{\ln n^2} \ge 1}\)

zachodzi dla ustalonego wcześniej \(\displaystyle{ \epsilon}\) od pewnego momentu \(\displaystyle{ N_{\epsilon}}\) (tj.: \(\displaystyle{ n>N_{\epsilon}}\)). Uważam, że jest zupełnie odwrotnie i nierówność:

\(\displaystyle{ (1-\epsilon)\frac{(n+1)^2}{\ln (n+1)^2} - (1+\epsilon) \frac{n^2}{\ln n^2} \ge 1}\)

zachodzi tylko przez chwilę potem nie tylko odwraca się. Jest znacznie gorzej bo:

\(\displaystyle{ \left( \forall \epsilon >0\right) \ \ \lim_{n \to \infty }\left( (1-\epsilon)\frac{(n+1)^2}{\ln (n+1)^2} - (1+\epsilon) \frac{n^2}{\ln n^2} \right) =- \infty }\)

nawet tempo uciekania \(\displaystyle{ (1-\epsilon)\frac{(n+1)^2}{\ln (n+1)^2} - (1+\epsilon) \frac{n^2}{\ln n^2} }\) do \(\displaystyle{ - \infty }\) wydaje się być dość spore. Przypuszczam, że dla dużych \(\displaystyle{ x}\) mamy:

\(\displaystyle{ (1-\epsilon)\frac{(x+1)^2}{\ln (x+1)^2} - (1+\epsilon) \frac{x^2}{\ln x^2} \approx -\frac{\epsilon x^2}{\ln x} }\)

gdzie przez \(\displaystyle{ \approx }\) rozumiem, że iloraz tych dwóch dąży do \(\displaystyle{ 1}\), gdy \(\displaystyle{ x\to \infty }\).

Dodano po 14 minutach 42 sekundach:
PS Wolfram się myli. Choć ten sam Wolfram mówi, że

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input/?i=0.99999999999%5B%28%28%2810%5E%2813%29%29%2B1%29%5E2%29%2F%28ln%28%28%2810%5E%2813%29%29%2B1%29%5E2%29%29%5D+-+1.00000000001%5B%28%2810%5E%2813%29%29%5E2%29%2F%28ln%28%2810%5E%2813%29%29%5E2%29%29%5D+%3E+1+

.

[Bran]

Nauczyłeś mnie dzisiaj więcej niż ja zdołałem się nauczyć przez tydzień. Dziękuję.

[Brombal]

A gdyby ująć to nieco inaczej.
\(\displaystyle{ \frac{n-\ln n}{\ln n} < \pi (n)< \frac{n+\ln n}{\ln n}}\)

Kiedyś się "pałowałem" ale nic z tego nie wyszło...
Gęstość liczb pierwszych

[Janusz Tracz]

To, że od pewnego miejsca miało by zachodzić:

\(\displaystyle{ \frac{n-\ln n}{\ln n} < \pi (n)< \frac{n+\ln n}{\ln n}}\)

jest równoważne z tym, że od pewnego miejsca zachodziło by:

\(\displaystyle{ \left| \pi(n)-\frac{n}{\ln n}\right|<1 }\)

A to nie jest prawda. Dowód zostawiam jako ćwiczenie. Wszystkie potrzebne do dowodu nierówności zostały już tu napisane.