Ukryta treść:
Wartości ułamka
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11413
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Wartości ułamka
Jakie są całkowite wartości wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{a^2+ab+b^2}{ab-1} }\) gdy \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są liczbami naturalnymi ?
-
- Użytkownik
- Posty: 11
- Rejestracja: 12 sty 2021, o 17:31
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 23
- Pomógł: 2 razy
Re: Wartości ułamka
\(\displaystyle{ \frac{a^2 + b^2 + ab}{ab-1}}\)
Załóżmy więc, że \(\displaystyle{ a\in \mathbb{N}}\), \(\displaystyle{ b\in \mathbb{N}}\) są takie, że powyższe wyrażenie jest całkowite. Niech \(\displaystyle{ n\in \mathbb{Z} }\) oraz niech \(\displaystyle{ a^2 + b^2 +ab = n(ab-1) = nab - n}\), gdzie \(\displaystyle{ n =\frac{a^2 + b^2 + ab}{ab-1} }\)
Po wyciągnięciu obustronnie modulo z a i z b z powyższej równości otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2 \equiv -n \pmod b\\b^2 \equiv -n \pmod a\end{cases}}\)
Niech wobec tego \(\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}}\) oraz \(\displaystyle{ a^2 = kb -n}\) oraz \(\displaystyle{ l \in \mathbb{Z}}\) i \(\displaystyle{ b^2 = la -n}\)
\(\displaystyle{ k = \frac{a^2 + \frac{a^2+b^2 + ab}{ab-1}}{b} = \frac{a^3b + b^2 + ab}{b} = a^2b + b + a}\)
\(\displaystyle{ l = ab^2 + b + a}\)
\(\displaystyle{ a^2 = a^2b^2 +b^2 + ab + \frac{a^2+b^2 + ab}{1-ab} \Rightarrow a^2 - a^3b = a^2b^2 + b^2 + ab - a^3b^3 - ab^3 - a^2b^2 + a^2 + b^2 + ab}\)
\(\displaystyle{ - a^3b = 2b^2 + 2ab - a^3b^3 - ab^3}\)
\(\displaystyle{ b^2 = b^2a^2 + ab + a^2 + \frac{a^2+b^2 + ab}{1-ab}\Rightarrow b^2 - ab^3 = b^2a^2 + ab + a^2 - b^3a^3-a^2b^2 - a^3b + a^2 + b^2 + ab}\)
\(\displaystyle{ - ab^3 = 2ab + 2a^2 - b^3a^3- a^3b}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}- a^3b = 2b^2 + 2ab - a^3b^3 - ab^3\\- ab^3 = 2ab + 2a^2 - b^3a^3- a^3b \end{cases}}\)
Po odjęciu stronami otrzymujemy:
\(\displaystyle{ ab(a+b)(b-a) = 2(a+b)(b-a) + ab(a+b)(a-b)}\)
\(\displaystyle{ (a+b)(b-a)(ab -1) = 0}\)
Wobec naturalności \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ b}\) mamy \(\displaystyle{ a = b}\)
\(\displaystyle{ \frac{3a^2}{a^2-1} = 3 + \frac{3}{a^2-1}}\)
Stąd \(\displaystyle{ a = b = 2}\) lub \(\displaystyle{ a=b=0}\)
A zatem jedyne możliwe całkowita wartości wskazanego wyrażenia to \(\displaystyle{ 0}\) oraz \(\displaystyle{ 4}\)
Załóżmy więc, że \(\displaystyle{ a\in \mathbb{N}}\), \(\displaystyle{ b\in \mathbb{N}}\) są takie, że powyższe wyrażenie jest całkowite. Niech \(\displaystyle{ n\in \mathbb{Z} }\) oraz niech \(\displaystyle{ a^2 + b^2 +ab = n(ab-1) = nab - n}\), gdzie \(\displaystyle{ n =\frac{a^2 + b^2 + ab}{ab-1} }\)
Po wyciągnięciu obustronnie modulo z a i z b z powyższej równości otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2 \equiv -n \pmod b\\b^2 \equiv -n \pmod a\end{cases}}\)
Niech wobec tego \(\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}}\) oraz \(\displaystyle{ a^2 = kb -n}\) oraz \(\displaystyle{ l \in \mathbb{Z}}\) i \(\displaystyle{ b^2 = la -n}\)
\(\displaystyle{ k = \frac{a^2 + \frac{a^2+b^2 + ab}{ab-1}}{b} = \frac{a^3b + b^2 + ab}{b} = a^2b + b + a}\)
\(\displaystyle{ l = ab^2 + b + a}\)
\(\displaystyle{ a^2 = a^2b^2 +b^2 + ab + \frac{a^2+b^2 + ab}{1-ab} \Rightarrow a^2 - a^3b = a^2b^2 + b^2 + ab - a^3b^3 - ab^3 - a^2b^2 + a^2 + b^2 + ab}\)
\(\displaystyle{ - a^3b = 2b^2 + 2ab - a^3b^3 - ab^3}\)
\(\displaystyle{ b^2 = b^2a^2 + ab + a^2 + \frac{a^2+b^2 + ab}{1-ab}\Rightarrow b^2 - ab^3 = b^2a^2 + ab + a^2 - b^3a^3-a^2b^2 - a^3b + a^2 + b^2 + ab}\)
\(\displaystyle{ - ab^3 = 2ab + 2a^2 - b^3a^3- a^3b}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}- a^3b = 2b^2 + 2ab - a^3b^3 - ab^3\\- ab^3 = 2ab + 2a^2 - b^3a^3- a^3b \end{cases}}\)
Po odjęciu stronami otrzymujemy:
\(\displaystyle{ ab(a+b)(b-a) = 2(a+b)(b-a) + ab(a+b)(a-b)}\)
\(\displaystyle{ (a+b)(b-a)(ab -1) = 0}\)
Wobec naturalności \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ b}\) mamy \(\displaystyle{ a = b}\)
\(\displaystyle{ \frac{3a^2}{a^2-1} = 3 + \frac{3}{a^2-1}}\)
Stąd \(\displaystyle{ a = b = 2}\) lub \(\displaystyle{ a=b=0}\)
A zatem jedyne możliwe całkowita wartości wskazanego wyrażenia to \(\displaystyle{ 0}\) oraz \(\displaystyle{ 4}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 11
- Rejestracja: 12 sty 2021, o 17:31
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 23
- Pomógł: 2 razy
Re: Wartości ułamka
Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ \frac{a^2+b^2 + ab}{ab-1} = 7}\)
\(\displaystyle{ a^2 + b^2 - 6ab + 7 = 0}\)
\(\displaystyle{ \Delta_a = 32b^2 - 49}\)
Nawet jeśli jest to kwadrat liczby całkowitej, wówczas liczba ta jest nieparzysta, a zatem \(\displaystyle{ 2 \not |\sqrt{\Delta_a}}\)
\(\displaystyle{ a_1 = \frac{6b - \sqrt{\Delta_a}}{2} = 3b -\frac{\sqrt{\Delta_a}}{2} \not \in \mathbb{Z}}\)
\(\displaystyle{ a_2 = \frac{6b + \sqrt{\Delta_a}}{2} = 3b +\frac{\sqrt{\Delta_a}}{2} \not \in \mathbb{Z}}\)