Udowodnij, że istnieje stała

[max123321]

3) Udowodnić, że istnieje bezwzględna dodatnia stała \(\displaystyle{ C}\) taka, że ​​mamy:

\(\displaystyle{ C <[\tau_1 (n) \phi (n) / n ^ 2] <1}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ n \ge 2}\) .

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

Dodano po 21 godzinach 10 minutach 37 sekundach:
Gwoli ścisłości dodam, że:
\(\displaystyle{ \tau_k(n)= \sum_{d|n}^{}d^k }\) oraz \(\displaystyle{ \phi(n)}\) to funkcja Eulera.

Dodano po 2 dniach 2 godzinach 23 sekundach:
Może mi ktoś z tym pomóc?

[arek1357]

Zastanawiam się że jeżeli np:

\(\displaystyle{ n=p_{1}p_{2} \cdot ... \cdot p_{k}=2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot ...}\)

To ten iloraz wyniesie np:


\(\displaystyle{ \frac{2-1}{2} \cdot \frac{3-1}{3} \cdot \frac{5-1}{5} \cdot ... }\) - i to raczej dąży do zera...

[max123321]

A dlaczego ten iloraz ma tyle wynieść?
\(\displaystyle{ \tau_1(p_1p_2...p_k) \neq p_1p_2...p_k}\)

[arek1357]

Bo suma dodatnich dzielników liczby n to:

\(\displaystyle{ \frac{p_{1}^{\alpha_{1}+1}-1}{p_{1}-1} \cdot \frac{p_{2}^{\alpha_{2}+1}-1}{p_{2}-1} \cdot ... \cdot \frac{p_{k}^{\alpha_{k}+1}-1}{p_{k}-1}}\)

a:

\(\displaystyle{ \varphi(n)=n(1- \frac{1}{p_{1}}) (1- \frac{1}{p_{2}}) \cdot ... \cdot (1- \frac{1}{p_{k}}) }\)

Podstawi się skróci się i otrzyma się...

Dodano po 1 minucie 14 sekundach:
moje \(\displaystyle{ \varphi}\) to twoje \(\displaystyle{ \phi}\)

Dodano po 4 minutach 33 sekundach:
I dlatego jak wziąłem liczbę bezkwadratową, to to \(\displaystyle{ C}\) jakoś zaczyna niebezpiecznie zbliżać się coś do zera, może to moja fatamorgana ale coś w tym jest...

[max123321]

Nawet jeśli, to ten iloraz mi wychodzi:
\(\displaystyle{ \frac{p_1^2-1}{p_1^2} \cdot \frac{p_2^2-1}{p_2^2} \cdot ... \cdot \frac{p^2_k-1}{p_k^2} }\)
Sprawdź czy się zgadza.

[arek1357]

Tak tyle wychodzi...

Dodano po 40 sekundach:
Zapomniałem o kwadratach

[max123321]

No ok, ale to coś zmienia? Ta stała \(\displaystyle{ C}\) wychodzi niedodatnia?

[arek1357]

W rzeczywistości

[Dasio11]

Dla liczby \(\displaystyle{ n = p_1^{\alpha_1} \cdot \ldots \cdot p_k^{\alpha_k}}\) wzory podane przez arka1357, tj.

\(\displaystyle{ \tau_1(n) = \frac{p_1^{\alpha_1+1}-1}{p_1-1} \cdot \ldots \cdot \frac{p_k^{\alpha_k+1}-1}{p_k-1} \\[3ex]
\phi(n) = n \left( 1 - \frac{1}{p_1} \right) \cdot \ldots \cdot \left( 1 - \frac{1}{p_k} \right)}\)

po łatwych przekształceniach dają

\(\displaystyle{ \frac{\tau_1(n) \phi(n)}{n^2} = \left( 1 - \frac{1}{p_1^{\alpha_1+1}} \right) \cdot \ldots \cdot \left( 1 - \frac{1}{p_k^{\alpha_k+1}} \right) \ge \left( 1 - \frac{1}{p_1^2} \right) \cdot \ldots \cdot \left( 1 - \frac{1}{p_k^2} \right)}\).

Zatem wystarczy wiedzieć, że iloczyn \(\displaystyle{ \prod_{p \in \mathbb{P}} \left(1-\frac{1}{p^2}\right)}\) jest zbieżny do liczby dodatniej.

Nawiasem mówiąc: jest zbieżny do \(\displaystyle{ \frac{6}{\pi^2}}\).