Własność ciągu

[mol_ksiazkowy]

Udowodnić, że jeśli ciąg jest określony \(\displaystyle{ a_0 = 0 \\ a_1=1 \\ a_{n}=2a_{n-1}+ a_{n-2} }\) to licznik i mianownik ułamka nieskracalnego \(\displaystyle{ \frac{a_n}{n} }\) są nieparzyste

[DamianTL]

Ciąg dla indeksów parzystych przyjmuje wartości parzyste, więc jeżeli ułamek \(\displaystyle{ \frac{a_n}{n}}\) jest nieskracalny, to jest nieparzysty (w innym wypadku da się go skrócić przez \(\displaystyle{ 2}\)). Ciąg dla indeksów nieparzystych przyjmuje wartości nieparzyste.

Skoro ułamek nieskracalny musi mieć indeks (a tym samym wartość) nieparzystą, to zarówno jego licznik i mianownik są nieparzyste.

Domyślam się więc, że cały ciężar polega na udowodnieniu, że ciąg dla indeksów parzystych przyjmuje wartości parzyste, a dla nieparzystych nieparzyste.

Przyjmijmy nie wprost, że istnieje takie \(\displaystyle{ n}\) parzyste, że \(\displaystyle{ a_{n}}\) jest nieparzyste. Z zasady minimum istnieje najmniejsze takie \(\displaystyle{ n.}\) Zatem \(\displaystyle{ a_{n-2}}\) jest parzyste, z definicji ciągu mamy \(\displaystyle{ a_n = 2 \cdot a_{n-1} + a_{n-2}}\) co jako suma dwóch liczb parzystych jest parzyste. To daje sprzeczność i kończy dowód.

Analogicznie można udowodnić, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) nieparzystego jego wartości są nieparzyste.

[Dasio11]

Przypuszczam że niewłaściwie interpretujesz treść zadania. Nie chodzi o wykazanie że dla tych \(\displaystyle{ n}\), dla których ułamek \(\displaystyle{ \frac{a_n}{n}}\) jest nieskracalny, licznik i mianownik ułamka są nieparzyste (co w istocie jest dość trywialne). Chodzi o wykazanie, że dla każdego \(\displaystyle{ n}\) po sprowadzeniu ułamka \(\displaystyle{ \frac{a_n}{n}}\) do postaci nieskracalnej licznik i mianownik staną się nieparzyste.