Sformułowana przez Eulera hipoteza Goldbacha brzmi:
każda liczba naturalna parzysta większa od 2 jest sumą dwóch liczb pierwszych.
Spróbuję zdefiniować pojęcie "stopnia parzystości" (zawsze dostawałem tu za to burę).
Dla liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\), przedstawionej w postaci \(\displaystyle{ n=2^s*m}\) gdzie \(\displaystyle{ m}\) jest nieparzyste, liczba \(\displaystyle{ s}\) jest stopniem parzystości liczby \(\displaystyle{ n}\).
Hipoteza 1.
Dla każdej liczby parzystej \(\displaystyle{ n>2}\) stopnia parzystości \(\displaystyle{ s>1}\), przedstawiona jako suma liczb pierwszych \(\displaystyle{ n=p_1+p_2}\) gdzie \(\displaystyle{ p_1 < p_2}\). Różnica liczb \(\displaystyle{ p_2-p_1}\) jest pierwszego stopnia parzystości (\(\displaystyle{ s=1}\)).
Działa to w obie strony, czyli
suma dwóch liczb pierwszych \(\displaystyle{ p_1}\) i \(\displaystyle{ p_2}\), gdzie \(\displaystyle{ p_2-p_1}\) jest pierwszego stopnia parzystości jest co najmniej drugiego stopnia parzystości. (dlatego suma dwóch liczb pierwszych bliźniaczych jest co najmniej stopnia drugiego - dzieli się przez \(\displaystyle{ 4}\)).
W takim przypadku poszukując liczb pierwszych składających się na liczbę parzystą wiemy, że odległość pomiędzy liczbami pierwszymi wynosi:
\(\displaystyle{ 2,6,10,14,... }\) tak co \(\displaystyle{ 4}\).
Hipoteza 2.
Dla każdej liczby parzystej \(\displaystyle{ n>2}\) stopnia parzystości \(\displaystyle{ s=1}\), przedstawiona jako suma liczb pierwszych \(\displaystyle{ n=p_1+p_2}\) gdzie \(\displaystyle{ p_1 < p_2}\). Różnica liczb \(\displaystyle{ p_2-p_1}\) jest stopnia parzystości. co najmniej drugiego (s>1).
Działa to w obie strony.
Dodano po 1 dniu 9 godzinach 35 minutach 44 sekundach:
Za bardzo komplikuję. Może tak:
Liczba \(\displaystyle{ n}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 4}\) wtedy i tylko wtedy, gdy różnica pomiędzy różnymi liczbami pierwszymi, dającymi w sumie liczbę \(\displaystyle{ n}\) nie dzieli się przez \(\displaystyle{ 4}\).
Parzysta liczba \(\displaystyle{ n}\) nie dzieli się przez \(\displaystyle{ 4}\) wtedy i tylko wtedy, gdy różnica pomiędzy różnymi liczbami pierwszymi, dającymi w sumie liczbę \(\displaystyle{ n}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 4}\).
Dodano po 12 minutach 45 sekundach:
Zapomniałem o dodaniu dwoma liczbami pierwszymi.
Wydaje się, że liczby parzyste przedstawione jako suma 4-ech liczb pierwszych są podzielne przez 4.
Inaczej,
Liczb parzystych niepodzielnych przez \(\displaystyle{ 4}\) nie da się przedstawić w postaci sumy \(\displaystyle{ k}\) liczb pierwszych, gdzie \(\displaystyle{ k}\) jest niepodzielne przez 4.
