Udowodnić, że \(\displaystyle{ \liminf_{ n\to\infty } \frac{\phi (n)}{n}=0 }\).
(wskazówka: wykorzystaj fakt, że suma szeregu liczb pierwszych jest rozbieżna)
Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc? Nie mam napisane, do czego dąży \(\displaystyle{ n}\) w tej granicy, ale pewnie do nieskończoności?
Granica dolna
-
- Użytkownik
- Posty: 3392
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 975 razy
- Pomógł: 3 razy
Granica dolna
Ostatnio zmieniony 21 mar 2021, o 16:52 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10218
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Re: Granica dolna
Jest znany wzór na funkcję Eulera - wstaw go do wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{\phi(n)}{n}}\) i zastanów się jakie trzeba wziąć \(\displaystyle{ n}\), żeby wartość wyszła jak najmniejsza.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4065
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1392 razy
Re: Granica dolna
Zdefiniujmy ciąg (podciąg) liczb naturalnych \(\displaystyle{ n \sharp = \prod_{p \le n}^{}p}\) innymi słowy \(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{\pi (n)}p_i }\). Zauważmy, że:
.
Można też bardziej elementarnie. Zauważmy, że \(\displaystyle{ 1-x \le \exp\left( -x\right) }\) dla \(\displaystyle{ x\in \RR}\) zatem:
co wynika ze znanego faktu, iż suma odwrotności liczb pierwszych jest rozbieżna.
Przepraszam Dasio11 ale zbyt długo robiłem to zadanie i wypisywałem jest tu by nie dodać teraz odpowiedzi.
\(\displaystyle{ \frac{\phi \left( n \sharp \right)}{n \sharp} = \prod_{p \le n}^{}\left( 1- \frac{1}{p} \right) \approx \frac{e^{-\gamma}}{\ln n} }\)
Przy czym ostatnie szacowanie wynika z Kod: Zaznacz cały
https://en.wikipedia.org/wiki/Mertens%27_theorems#In_number_theory
Można też bardziej elementarnie. Zauważmy, że \(\displaystyle{ 1-x \le \exp\left( -x\right) }\) dla \(\displaystyle{ x\in \RR}\) zatem:
\(\displaystyle{ \frac{\phi \left( n \sharp \right)}{n \sharp} = \prod_{p \le n}^{}\left( 1- \frac{1}{p} \right) \le \exp\left( - \sum_{p \le n}^{} \frac{1}{p} \right)\:\xrightarrow[]{n\to \infty }\:0 }\)
co wynika ze znanego faktu, iż suma odwrotności liczb pierwszych jest rozbieżna.
Przepraszam Dasio11 ale zbyt długo robiłem to zadanie i wypisywałem jest tu by nie dodać teraz odpowiedzi.