Granica dolna

[max123321]

Udowodnić, że \(\displaystyle{ \liminf_{ n\to\infty } \frac{\phi (n)}{n}=0 }\).

(wskazówka: wykorzystaj fakt, że suma szeregu liczb pierwszych jest rozbieżna)

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc? Nie mam napisane, do czego dąży \(\displaystyle{ n}\) w tej granicy, ale pewnie do nieskończoności?

[Dasio11]

Jest znany wzór na funkcję Eulera - wstaw go do wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{\phi(n)}{n}}\) i zastanów się jakie trzeba wziąć \(\displaystyle{ n}\), żeby wartość wyszła jak najmniejsza.

[Janusz Tracz]

Zdefiniujmy ciąg (podciąg) liczb naturalnych \(\displaystyle{ n \sharp = \prod_{p \le n}^{}p}\) innymi słowy \(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{\pi (n)}p_i }\). Zauważmy, że:

\(\displaystyle{ \frac{\phi \left( n \sharp \right)}{n \sharp} = \prod_{p \le n}^{}\left( 1- \frac{1}{p} \right) \approx \frac{e^{-\gamma}}{\ln n} }\)

Przy czym ostatnie szacowanie wynika z

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Mertens%27_theorems#In_number_theory

.

Można też bardziej elementarnie. Zauważmy, że \(\displaystyle{ 1-x \le \exp\left( -x\right) }\) dla \(\displaystyle{ x\in \RR}\) zatem:

\(\displaystyle{ \frac{\phi \left( n \sharp \right)}{n \sharp} = \prod_{p \le n}^{}\left( 1- \frac{1}{p} \right) \le \exp\left( - \sum_{p \le n}^{} \frac{1}{p} \right)\:\xrightarrow[]{n\to \infty }\:0 }\)

co wynika ze znanego faktu, iż suma odwrotności liczb pierwszych jest rozbieżna.
Przepraszam Dasio11 ale zbyt długo robiłem to zadanie i wypisywałem jest tu by nie dodać teraz odpowiedzi.