Funkcja von Mangoldta

[max123321]

Niech \(\displaystyle{ \Lambda (n) = \log p}\), jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest nietrywialną potęgą liczby pierwszej \(\displaystyle{ p}\), a zero w przeciwnym razie (funkcja von Mangoldta). Udowodnij, że \(\displaystyle{ \Lambda * 1 (n) = \log n}\).

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

[Dasio11]

Rozpisz z definicji czym jest \(\displaystyle{ \Lambda \ast 1(n)}\).

[Janusz Tracz]

Zakładam, że \(\displaystyle{ 1\left( n\right)=1}\). A \(\displaystyle{ *}\) to splot Dirichleta. Wtedy ustalam \(\displaystyle{ n\in \NN}\), gdzie \(\displaystyle{ n= \prod_{i=1}^{k} p_i^{n_i}}\) i z definicji liczymy:

\(\displaystyle{ \left( \Lambda*1\right)\left( n\right)=\sum_{d|n} \Lambda \left( n\right) = \underbrace{\Lambda \left( p_1 \right) +...+\Lambda \left( p_1^{n_i} \right)}_{n_1\text{ razy}} + \underbrace{\Lambda \left( p_2 \right) +...+\Lambda \left( p_2^{n_2} \right)}_{n_2\text{ razy}}+...+ \underbrace{\Lambda \left( p_k \right) +...+\Lambda \left( p_k^{n_k} \right)}_{n_k\text{ razy}} = \sum_{i=1}^{k} n_i\ln p_i=\ln \prod_{i=1}^{k} p_i^{n_i}=\ln n }\)

[max123321]

Dobra to rozpisuję z definicji:
\(\displaystyle{ (\Lambda * 1)(n)= \sum_{d|n}^{}\Lambda (d) \cdot 1(n/d)= \sum_{d|n}^{}\Lambda(d) }\)

Można przyjąć, że \(\displaystyle{ n=p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdot ... \cdot p_m^{k_m}}\), zatem:

\(\displaystyle{ \sum_{d|n}^{}\Lambda(d)=k_1 \cdot \log p_1+k_2 \cdot \log p_2 +...+k_m \cdot \log p_m=}\)
\(\displaystyle{ =\log (p_1^{k_1}p_2^{k_2}...p_m^{k_m})=\log n}\)

Czy tak jest dobrze?