Oblicz splot

[max123321]

Niech \(\displaystyle{ 1 (n)}\) będzie stałą funkcją równą \(\displaystyle{ 1}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ n}\). Oblicz splot \(\displaystyle{ \mu * 1}\).

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

[Dasio11]

Próbowałeś z definicji?

[max123321]

Ok, to próbuję z definicji:

Niech \(\displaystyle{ n=p_1^{k_1}p_2^{k_2}...p_m^{k_m}}\)
\(\displaystyle{ (\mu * 1)(n)= \sum_{d|n}^{}\mu (d) \cdot 1(n/d)=\sum_{d|n}^{}\mu (d)= }\)
\(\displaystyle{ =\mu(1)+ \sum_{i=1}^{m}\mu(p_i)+ \sum_{i,j,i \neq j}^{m}\mu (p_ip_j)+ \sum_{i,j,k,i \neq j,i \neq k,j \neq k}^{m} \mu (p_ip_jp_k)+...+\mu (p_1p_2...p_m)+ }\)
\(\displaystyle{ +\sum_{d|n,p_i^j|d,j \ge 2}^{}\mu (d)=1+ {m \choose 1}(-1)+ {m \choose 2}(-1)^2+ }\)
\(\displaystyle{ + {m \choose 3}(-1)^3+...+ {m \choose m}(-1)^m+0= \sum_{k=0}^{m} {m \choose k}(-1)^k=(1-1)^m=0 }\)

Czy tak jest dobrze?

[Dasio11]

Tak, z tym że

\(\displaystyle{ (1-1)^m = \begin{cases} 1 & \text{gdy } m = 0 \\ 0 & \text{gdy } m > 0 \end{cases}}\)

[max123321]

Aha, chodzi Ci o ten przypadek, gdyby \(\displaystyle{ n=1}\)? Racja wówczas ten splot wyniósłby \(\displaystyle{ 1}\). Inna rzecz, że rozważamy chyba tylko liczby \(\displaystyle{ n}\) całkowite dodatnie, czyli \(\displaystyle{ n=0}\) chyba nie trzeba rozważać?

[Dasio11]

Nie trzeba.