Niech alfa będzie liczbą niewymierną

[max123321]

Niech \(\displaystyle{ \alpha}\) będzie liczbą niewymierną i \(\displaystyle{ N}\) będzie liczbą całkowitą dodatnią. Udowodnij, że istnieje liczba wymierna \(\displaystyle{ h/k}\) z mianownikiem \(\displaystyle{ \le N}\) taka, że

\(\displaystyle{ |\alpha -h/k| < 1/(kN)}\)

(Wskazówka: Skorzystaj z zasady szufladkowej)

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

[Dasio11]

To pierwszy lemat stąd:

Lemat (Dirichlet ~1835): Dla dowolnej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ r}\) i dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) istnieje nieskończenie wiele różnych liczb wymiernych \(\displaystyle{ \frac pq}\), dla \(\displaystyle{ p,q\in\mathbb{Z}}\) takich, że \(\displaystyle{ |qr-p|\le\frac 1n}\).