Dwie ostatnie cyfry w zapisie siódemkowym

[aaron1888]

Znajdź 2 ostatnie cyfry zapisu siódemkowego liczby \(\displaystyle{ 2^{1000} }\)

Umiem znaleźć te cyfry w systemie dziesiętnym, lecz nie mam pojęcia jak je wyznaczyć w systemie siódemkowym. Proszę o pomoc w wytłumaczeniu jak ten problem rozwiązać.

[Premislav]

Zapis siódemkowy liczby \(\displaystyle{ 2^{1000}}\) opiera się na przedstawieniu jej w formie
\(\displaystyle{ a_{0}+a_{1}\cdot 7^{1}+a_{2}\cdot 7^{2}+\ldots+a_{n}\cdot 7^{n}}\)
gdzie \(\displaystyle{ a_{i}\in \left\{0,1,2,3,4,5,6\right\}}\),
No dobra, tu zapisałem cyfry w odwrotnej kolejności, ale chodzi generalnie o obliczenie \(\displaystyle{ 2^{1000}\pmod{7^{2}}}\)
bo to jest wg powyższej notacji \(\displaystyle{ a_{0}+a_{1}\cdot 7^{1}}\).
Twierdzenie Eulera tutaj pomaga:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Eulera_%28teoria_liczb%29

[aaron1888]

Zrobiłem to w ten sposób

\(\displaystyle{ NWD(7,2)=1 }\)
\(\displaystyle{ φ(7)=6 }\)
\(\displaystyle{ 2^{6} = 1\pmod{7}}\)
\(\displaystyle{ 2^{1000} = 2^{6\cdot 125} \cdot 2^{10} = 1^{125} \cdot 1024 = 12\pmod{7} }\)

Sprawdziłem i wynik wychodzi dobry lecz nie mam pewności czy jest to prawidłowe, dodatkowo użyłem tej samej metody do systemu trójkowego i niestety przy tamtym systemie końcowo otrzymuję prawidłowy wynik lecz tylko ostatnią cyfrę .