2021 liczb pierwszych w przedziale

[Bran]

Udowodnij, że istnieje liczba \(\displaystyle{ B}\) taka, że jeżeli \(\displaystyle{ x \ge B}\), to w przedziale \(\displaystyle{ \left[ x, \frac{3}{2}x\right] }\) istnieje \(\displaystyle{ 2021}\) liczb pierwszych.

Zadanie podane tuż przedstawieniu twierdzenia o liczbach pierwszych, więc pewnie trzeba skorzystać właśnie z niego. Tylko niestety jest to dla mnie nowe twierdzenie i być może nie do końca je rozumiem... W każdym razie nie wiem jak się zabrać za to zadanie, bo przecież mamy tutaj tylko przybliżenie i to bez podanego błędu (jeśli się nie mylę).
Będę wdzięczny za pomoc.

[Dasio11]

Weźmy liczbę \(\displaystyle{ \alpha}\) taką że \(\displaystyle{ 1 < \alpha < \sqrt{\frac{3}{2}}}\). Na mocy twierdzenia o liczbach pierwszych istnieje takie \(\displaystyle{ B_1}\), że dla \(\displaystyle{ x \ge B_1}\) jest

\(\displaystyle{ \pi \left( \frac{3}{2} x \right) \ge \frac{1}{\alpha} \frac{\frac{3}{2}x}{\ln \left( \frac{3}{2} x \right)} \qquad \text{ oraz } \qquad \pi(x) \le \alpha \frac{x}{\ln x}}\).

Stąd liczba \(\displaystyle{ N(x)}\) liczb pierwszych w przedziale \(\displaystyle{ \left[ x, \frac{3}{2} x \right]}\) spełnia

\(\displaystyle{ N(x) \ge \pi \left( \frac{3}{2} x \right) - \pi(x) \ge \frac{1}{\alpha} \frac{\frac{3}{2}x}{\ln \left( \frac{3}{2} x \right)} - \alpha \frac{x}{\ln x}}\).

Prawa strona rozbiega do nieskończoności przy \(\displaystyle{ x \to \infty}\), więc dla dostatecznie dużych iksów tych liczb pierwszych jest w przedziale co najmniej \(\displaystyle{ 2021}\).

[Bran]

Weźmy liczbę \(\displaystyle{ \alpha}\) taką że \(\displaystyle{ 1 < \alpha < \sqrt{\frac{3}{2}}}\). Na mocy twierdzenia o liczbach pierwszych istnieje takie \(\displaystyle{ B_1}\), że dla \(\displaystyle{ x \ge B_1}\) jest

\(\displaystyle{ \pi \left( \frac{3}{2} x \right) \ge \frac{1}{\alpha} \frac{\frac{3}{2}x}{\ln \left( \frac{3}{2} x \right)} \qquad \text{ oraz } \qquad \pi(x) \le \alpha \frac{x}{\ln x}}\).

Jak te nierówności wynikają z twierdzenia o liczbach pierwszych? Bo tak jest tylko ta zbieżność, jak z tego dostać nierówności?

[Janusz Tracz]

Spróbuj udowodnić coś takiego:

Jeśli \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \frac{p(x)}{q(x)}=1 }\) to dla dowolnych liczb \(\displaystyle{ \alpha , \beta }\) takich, że \(\displaystyle{ 0< \beta <1<\alpha }\) od pewnego momentu zachodzi \(\displaystyle{ \beta q(x)<p(x)< \alpha q(x)}\).

Dodano po 2 godzinach 15 minutach 1 sekundzie:
Przyjmijmy jeszcze, że funkcje \(\displaystyle{ p,q}\) są dodatnie od pewnego momentu.

[Bran]

Po podzieleniu przez \(\displaystyle{ q(x)}\) i zbliżając się do jedynki (coraz bliżej im dalsze \(\displaystyle{ x}\)'y) to oczywiste - chociaż przyznam, że nie wiem jak to opisać oficjalnie.

Jednak nie mogę wpaść na to, jak ma się to do tego co pisze Dasio.

[Janusz Tracz]

Po podzieleniu przez \(\displaystyle{ q(x)}\) i zbliżając się do jedynki (coraz bliżej im dalsze \(\displaystyle{ x}\)'y) to oczywiste - chociaż przyznam, że nie wiem jak to opisać oficjalnie.

Zgadza się. Można spróbować to pokazać nie wprost. Niech \(\displaystyle{ p,q}\) będą dodatnimi funkcjami takimi, że \(\displaystyle{ p/q\to 1}\). Ustalmy \(\displaystyle{ \alpha >1}\) z założenia nie wprost wynika, że będzie spełniona nierówność \(\displaystyle{ p \ge \alpha q}\) (oczywiście od pewnego momentu). Ale z tego wynika, że \(\displaystyle{ p/q \ge \alpha >1}\) od pewnego miejsca. To jest jednak sprzeczność. Ułamek \(\displaystyle{ p/q}\) z założenia o granicy może być dowolnie bliski \(\displaystyle{ 1}\). Tu jednak widać, że \(\displaystyle{ p/q}\) nie może zbliżyć się dowolnie blisko bo \(\displaystyle{ 1}\). Drugą nierówność analogicznie się robi.

Jednak nie mogę wpaść na to, jak ma się to do tego co pisze Dasio.

To była odpowiedź na Twoje pytanie:

Weźmy liczbę \(\displaystyle{ \alpha}\) taką że \(\displaystyle{ 1 < \alpha < \sqrt{\frac{3}{2}}}\). Na mocy twierdzenia o liczbach pierwszych istnieje takie \(\displaystyle{ B_1}\), że dla \(\displaystyle{ x \ge B_1}\) jest

\(\displaystyle{ \pi \left( \frac{3}{2} x \right) \ge \frac{1}{\alpha} \frac{\frac{3}{2}x}{\ln \left( \frac{3}{2} x \right)} \qquad \text{ oraz } \qquad \pi(x) \le \alpha \frac{x}{\ln x}}\).

Jak te nierówności wynikają z twierdzenia o liczbach pierwszych? Bo tak jest tylko ta zbieżność, jak z tego dostać nierówności?

Twierdzenie o liczbach pierwszych mówi: \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \frac{\pi (x)}{ \frac{x}{\ln x} }=1 }\). I bezpośrednio z niego nie wynikają żadne nierówności. Ale jak połączymy to z tym co pisałem ogólnie o granicy \(\displaystyle{ p/q}\). I położymy \(\displaystyle{ p(x)= \pi (x)}\) oraz \(\displaystyle{ q(x)= \frac{x}{\ln x} }\) to dostaniesz, że dla \(\displaystyle{ \alpha >1}\) istnieje takie miejsce od którego zachodzi:

\(\displaystyle{ p\left( x\right) \le \alpha q\left( x\right) }\)

\(\displaystyle{ \pi\left( x\right) \le \alpha \frac{x}{\ln x} }\)

potem zamiast \(\displaystyle{ \beta }\) dajemy \(\displaystyle{ \frac{1}{ \alpha } }\). A zamiast \(\displaystyle{ x}\) dajemy \(\displaystyle{ \frac{3x}{2} }\) (techniczne szczegóły). Tak czy inaczej dostajemy:

\(\displaystyle{ \beta q\left( \frac{3x}{2} \right) \le p\left( \frac{3x}{2} \right) }\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{ \alpha } \frac{\frac{3x}{2} }{\ln \left( \frac{3x}{2} \right) } \le \pi \left( \frac{3x}{2} \right) }\)

[Bran]

Dzięki chłopaki, już rozumiem!

\(\displaystyle{ N(x) \ge \pi \left( \frac{3}{2} x \right) - \pi(x)}\).
Tutaj jest nierówność dlatego, że \(\displaystyle{ x}\) może być liczbą pierwszą?

Dodano po 7 minutach 36 sekundach:
Jeszcze nie widzę jednej rzeczy:

Weźmy liczbę \(\displaystyle{ \alpha}\) taką że \(\displaystyle{ 1 < \alpha < \sqrt{\frac{3}{2}}}\).

Dlaczego pierwiastek?