Udowodnij, że istnieje liczba \(\displaystyle{ B}\) taka, że jeżeli \(\displaystyle{ x \ge B}\), to w przedziale \(\displaystyle{ \left[ x, \frac{3}{2}x\right] }\) istnieje \(\displaystyle{ 2021}\) liczb pierwszych.
Zadanie podane tuż przedstawieniu twierdzenia o liczbach pierwszych, więc pewnie trzeba skorzystać właśnie z niego. Tylko niestety jest to dla mnie nowe twierdzenie i być może nie do końca je rozumiem... W każdym razie nie wiem jak się zabrać za to zadanie, bo przecież mamy tutaj tylko przybliżenie i to bez podanego błędu (jeśli się nie mylę).
Będę wdzięczny za pomoc.
2021 liczb pierwszych w przedziale
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10218
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Re: 2021 liczb pierwszych w przedziale
Weźmy liczbę \(\displaystyle{ \alpha}\) taką że \(\displaystyle{ 1 < \alpha < \sqrt{\frac{3}{2}}}\). Na mocy twierdzenia o liczbach pierwszych istnieje takie \(\displaystyle{ B_1}\), że dla \(\displaystyle{ x \ge B_1}\) jest
\(\displaystyle{ \pi \left( \frac{3}{2} x \right) \ge \frac{1}{\alpha} \frac{\frac{3}{2}x}{\ln \left( \frac{3}{2} x \right)} \qquad \text{ oraz } \qquad \pi(x) \le \alpha \frac{x}{\ln x}}\).
Stąd liczba \(\displaystyle{ N(x)}\) liczb pierwszych w przedziale \(\displaystyle{ \left[ x, \frac{3}{2} x \right]}\) spełnia
\(\displaystyle{ N(x) \ge \pi \left( \frac{3}{2} x \right) - \pi(x) \ge \frac{1}{\alpha} \frac{\frac{3}{2}x}{\ln \left( \frac{3}{2} x \right)} - \alpha \frac{x}{\ln x}}\).
Prawa strona rozbiega do nieskończoności przy \(\displaystyle{ x \to \infty}\), więc dla dostatecznie dużych iksów tych liczb pierwszych jest w przedziale co najmniej \(\displaystyle{ 2021}\).
\(\displaystyle{ \pi \left( \frac{3}{2} x \right) \ge \frac{1}{\alpha} \frac{\frac{3}{2}x}{\ln \left( \frac{3}{2} x \right)} \qquad \text{ oraz } \qquad \pi(x) \le \alpha \frac{x}{\ln x}}\).
Stąd liczba \(\displaystyle{ N(x)}\) liczb pierwszych w przedziale \(\displaystyle{ \left[ x, \frac{3}{2} x \right]}\) spełnia
\(\displaystyle{ N(x) \ge \pi \left( \frac{3}{2} x \right) - \pi(x) \ge \frac{1}{\alpha} \frac{\frac{3}{2}x}{\ln \left( \frac{3}{2} x \right)} - \alpha \frac{x}{\ln x}}\).
Prawa strona rozbiega do nieskończoności przy \(\displaystyle{ x \to \infty}\), więc dla dostatecznie dużych iksów tych liczb pierwszych jest w przedziale co najmniej \(\displaystyle{ 2021}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 421
- Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 163 razy
- Pomógł: 16 razy
Re: 2021 liczb pierwszych w przedziale
Jak te nierówności wynikają z twierdzenia o liczbach pierwszych? Bo tak jest tylko ta zbieżność, jak z tego dostać nierówności?Dasio11 pisze: ↑7 mar 2021, o 21:06 Weźmy liczbę \(\displaystyle{ \alpha}\) taką że \(\displaystyle{ 1 < \alpha < \sqrt{\frac{3}{2}}}\). Na mocy twierdzenia o liczbach pierwszych istnieje takie \(\displaystyle{ B_1}\), że dla \(\displaystyle{ x \ge B_1}\) jest
\(\displaystyle{ \pi \left( \frac{3}{2} x \right) \ge \frac{1}{\alpha} \frac{\frac{3}{2}x}{\ln \left( \frac{3}{2} x \right)} \qquad \text{ oraz } \qquad \pi(x) \le \alpha \frac{x}{\ln x}}\).
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4065
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1392 razy
Re: 2021 liczb pierwszych w przedziale
Spróbuj udowodnić coś takiego:
Jeśli \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \frac{p(x)}{q(x)}=1 }\) to dla dowolnych liczb \(\displaystyle{ \alpha , \beta }\) takich, że \(\displaystyle{ 0< \beta <1<\alpha }\) od pewnego momentu zachodzi \(\displaystyle{ \beta q(x)<p(x)< \alpha q(x)}\).
Dodano po 2 godzinach 15 minutach 1 sekundzie:
Przyjmijmy jeszcze, że funkcje \(\displaystyle{ p,q}\) są dodatnie od pewnego momentu.
Jeśli \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \frac{p(x)}{q(x)}=1 }\) to dla dowolnych liczb \(\displaystyle{ \alpha , \beta }\) takich, że \(\displaystyle{ 0< \beta <1<\alpha }\) od pewnego momentu zachodzi \(\displaystyle{ \beta q(x)<p(x)< \alpha q(x)}\).
Dodano po 2 godzinach 15 minutach 1 sekundzie:
Przyjmijmy jeszcze, że funkcje \(\displaystyle{ p,q}\) są dodatnie od pewnego momentu.
-
- Użytkownik
- Posty: 421
- Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 163 razy
- Pomógł: 16 razy
Re: 2021 liczb pierwszych w przedziale
Po podzieleniu przez \(\displaystyle{ q(x)}\) i zbliżając się do jedynki (coraz bliżej im dalsze \(\displaystyle{ x}\)'y) to oczywiste - chociaż przyznam, że nie wiem jak to opisać oficjalnie.
Jednak nie mogę wpaść na to, jak ma się to do tego co pisze Dasio.
Jednak nie mogę wpaść na to, jak ma się to do tego co pisze Dasio.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4065
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1392 razy
Re: 2021 liczb pierwszych w przedziale
Zgadza się. Można spróbować to pokazać nie wprost. Niech \(\displaystyle{ p,q}\) będą dodatnimi funkcjami takimi, że \(\displaystyle{ p/q\to 1}\). Ustalmy \(\displaystyle{ \alpha >1}\) z założenia nie wprost wynika, że będzie spełniona nierówność \(\displaystyle{ p \ge \alpha q}\) (oczywiście od pewnego momentu). Ale z tego wynika, że \(\displaystyle{ p/q \ge \alpha >1}\) od pewnego miejsca. To jest jednak sprzeczność. Ułamek \(\displaystyle{ p/q}\) z założenia o granicy może być dowolnie bliski \(\displaystyle{ 1}\). Tu jednak widać, że \(\displaystyle{ p/q}\) nie może zbliżyć się dowolnie blisko bo \(\displaystyle{ 1}\). Drugą nierówność analogicznie się robi.
To była odpowiedź na Twoje pytanie:
Twierdzenie o liczbach pierwszych mówi: \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \frac{\pi (x)}{ \frac{x}{\ln x} }=1 }\). I bezpośrednio z niego nie wynikają żadne nierówności. Ale jak połączymy to z tym co pisałem ogólnie o granicy \(\displaystyle{ p/q}\). I położymy \(\displaystyle{ p(x)= \pi (x)}\) oraz \(\displaystyle{ q(x)= \frac{x}{\ln x} }\) to dostaniesz, że dla \(\displaystyle{ \alpha >1}\) istnieje takie miejsce od którego zachodzi:Bran pisze: ↑8 mar 2021, o 15:57Jak te nierówności wynikają z twierdzenia o liczbach pierwszych? Bo tak jest tylko ta zbieżność, jak z tego dostać nierówności?Dasio11 pisze: ↑7 mar 2021, o 21:06 Weźmy liczbę \(\displaystyle{ \alpha}\) taką że \(\displaystyle{ 1 < \alpha < \sqrt{\frac{3}{2}}}\). Na mocy twierdzenia o liczbach pierwszych istnieje takie \(\displaystyle{ B_1}\), że dla \(\displaystyle{ x \ge B_1}\) jest
\(\displaystyle{ \pi \left( \frac{3}{2} x \right) \ge \frac{1}{\alpha} \frac{\frac{3}{2}x}{\ln \left( \frac{3}{2} x \right)} \qquad \text{ oraz } \qquad \pi(x) \le \alpha \frac{x}{\ln x}}\).
\(\displaystyle{ p\left( x\right) \le \alpha q\left( x\right) }\)
\(\displaystyle{ \pi\left( x\right) \le \alpha \frac{x}{\ln x} }\)
potem zamiast \(\displaystyle{ \beta }\) dajemy \(\displaystyle{ \frac{1}{ \alpha } }\). A zamiast \(\displaystyle{ x}\) dajemy \(\displaystyle{ \frac{3x}{2} }\) (techniczne szczegóły). Tak czy inaczej dostajemy:
\(\displaystyle{ \beta q\left( \frac{3x}{2} \right) \le p\left( \frac{3x}{2} \right) }\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{ \alpha } \frac{\frac{3x}{2} }{\ln \left( \frac{3x}{2} \right) } \le \pi \left( \frac{3x}{2} \right) }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 421
- Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 163 razy
- Pomógł: 16 razy
Re: 2021 liczb pierwszych w przedziale
Dzięki chłopaki, już rozumiem!
\(\displaystyle{ N(x) \ge \pi \left( \frac{3}{2} x \right) - \pi(x)}\).
Tutaj jest nierówność dlatego, że \(\displaystyle{ x}\) może być liczbą pierwszą?
Dodano po 7 minutach 36 sekundach:
Jeszcze nie widzę jednej rzeczy:
\(\displaystyle{ N(x) \ge \pi \left( \frac{3}{2} x \right) - \pi(x)}\).
Tutaj jest nierówność dlatego, że \(\displaystyle{ x}\) może być liczbą pierwszą?
Dodano po 7 minutach 36 sekundach:
Jeszcze nie widzę jednej rzeczy:
Dlaczego pierwiastek?