Sumy kwadratow

[mol_ksiazkowy]

Czy istnieją liczby całkowite \(\displaystyle{ x, a, b, c, d}\) takie, ze \(\displaystyle{ (x+1)^2+a^2 = (x+2)^2+b^2 = (x+3)^2+c^2= (x+4)^2+d^2 }\) ?

[Brombal]

Gdyby wyobrazić sobie, że wartość każdego z równań to przeciwprostokątna, to mamy tu 2 trójkąty egipskie.

[DamianTL]

Niech \(\displaystyle{ x,a,b,c,d \in \NN_+}\) później przejdę na całkowite.

Weźmy \(\displaystyle{ (x+1)^2 + a^2 = (x+2)^2 + b^2}\)
Po prostych przekształceniach dostaniemy:
\(\displaystyle{ b^2 +2x + 3 = a^2.}\)

Zauważmy teraz, że kwadraty liczb naturalnych rosną coraz szybciej, bo dla każdego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego zachodzi równość \(\displaystyle{ (n+1)^2 - n^2 = 2n+1}\), zatem różnica kolejnych wyrazów jest stale rosnąca.

Więc liczby \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ a}\) są jednoznacznie wyznaczone przez \(\displaystyle{ x}\). Więcej:
\(\displaystyle{ b^2 = (x+1)^2}\), bo tylko liczba \(\displaystyle{ (x+1)^2 + 2x+3}\) daje kwadrat liczby naturalnej mianowicie \(\displaystyle{ (x+2)^2 = a^2.}\)

Ustalmy zatem dowolny \(\displaystyle{ x \in \NN}\) i znowu weźmy \(\displaystyle{ (x+1)^2 + a^2 = (x+2)^2 + b^2}\) (tym razem konkretne).

Spróbujmy znaleźć \(\displaystyle{ c \in \NN}\) takie, że: \(\displaystyle{ (x+1)^2 + a^2 = (x+2)^2 + b^2 = (x+3)^2 + c^2.}\)

\(\displaystyle{ (x+1)^2 + a^2 = (x+3)^2 + c^2}\)

korzystając z tego, że znamy \(\displaystyle{ a^2}\) dostajemy:

\(\displaystyle{ (x+1)^2 + (x+2)^2 = (x+3)^2 + c^2}\)

\(\displaystyle{ \left( x^2 + 2x + 1\right) + \left( x^2 + 4x + 4\right) - \left( x^2 + 6x + 9\right) = c^2}\)

Łatwo policzyć, że:
\(\displaystyle{ c^2 = x^2 - 4}\)

Sprawdzenie drugiej równości daje ten sam rezultat. Jednak ma on sens tylko dla \(\displaystyle{ x > 1,}\) a ponieważ \(\displaystyle{ c^2 = x^2 - 4 = (x-2)(x+2)}\) jest kwadratem jakiejś liczby tylko dla \(\displaystyle{ x = 2,}\)

to opcja jest jedna:
\(\displaystyle{ x = 2, a = 4, b = 3, c = 0}\)

Łatwo też zauważyć, że nie znajdziemy \(\displaystyle{ d^2}\), które miałoby spełnić czwartą równość z zadania, bo \(\displaystyle{ d^2 > c^2 = 0}\), co jest sprzeczne.

Analogicznie można dowieść, że dla liczb ujemnych mniejszych od \(\displaystyle{ -2}\) jest jedna opcja:

\(\displaystyle{ x = -4, a = -4, b = -3, c = 0}\)

Pozostaje więc sprawdzić kilka pozostałych opcji ręcznie. Po zrobieniu tego okaże się, że znajdziemy jeszcze jedną taką czwórkę:

\(\displaystyle{ x = -2, a = 0, b = 1, c = 0}\)

jednak kolejnej pasującej liczby całkowitej nie znajdziemy nigdy, zatem odpowiedź brzmi:
Nie, nie istnieją.