Równanie Bombieriego

[mol_ksiazkowy]

Czy równanie \(\displaystyle{ {x \choose n} + {y \choose n} = {z \choose n}}\) ma rozwiązanie, gdy:
i) \(\displaystyle{ n=2}\)
ii) \(\displaystyle{ n=3}\)
iii) \(\displaystyle{ n>3}\) jest liczbą pierwszą
?

[a4karo]

\(\displaystyle{ \binom{3}{2}+\binom{3}{2}=\binom{4}{2}}\)

Dla dowolnego `n` zachodzi równość

\(\displaystyle{ \binom{2n-1}{n-1}+\binom{2n-1}{n}=\binom{2n}{n}}\)

Jeżeli `n` jest nieparzyste (a więc w szczególności pierwsze>3), to wyrazy po lewej stronie są równe (bo sa środkowymi wyrazami w trójkącie Pascala), zatem mamy rozwiązanie \(\displaystyle{ x,y=2n-1,\ z=2n}\)

[mol_ksiazkowy]

ii) mamy też np. \(\displaystyle{ {10 \choose 3} + {16 \choose 3} = {17 \choose 3} }\)
iii) a co gdy \(\displaystyle{ n>3}\) i \(\displaystyle{ x, y, z}\)
są różne ?