Dowód o grupie abelowej - proszę o pomoc

[MariaCurie]

Proszę o pomoc w zadaniu!
Element \(\displaystyle{ e}\) jest dla grupy \(\displaystyle{ (G, \cdot )}\) neutralnym.
Uzasadnij, że jeśli dla każdego \(\displaystyle{ a}\) z \(\displaystyle{ G}\) zachodzi \(\displaystyle{ a \cdot a = e}\) to grupa jest abelowa.
Wiem, że grupa abelowa różni się od grupy tym, że w niej działanie musi być przemienne, jednak nie mam pomysłu na to, co tu zrobić. Dzięki z góry za wszelką pomoc

[a4karo]

Wsk. Oblicz `abab`

[MariaCurie]

Wsk. Oblicz `abab`

Hmm trochę nad tym myślę, próbowałam rozpisać, ale nic tutaj nie widzę...
\(\displaystyle{ a \cdot b \cdot a \cdot b }\) jakbym udowodniła, że z tym warunkiem z zadania jest to to samo co \(\displaystyle{ b \cdot a \cdot b \cdot a}\) to byłoby udowodnione, że jest przemienne, ale nie wiem wciąż jak
Próbowałam wstawić do środka \(\displaystyle{ e}\), jakoś \(\displaystyle{ a \cdot e \cdot b \cdot a \cdot b}\) i coś kombinować, ale nie wychodzi. Myślę, że na pewno trzeba skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ a \cdot a = b \cdot b = e}\)

[a4karo]

Wsk2
`abab=(ab) (ab) `

[MariaCurie]

Wsk2
`abab=(ab) (ab) `

Dziękuję, chyba mam!
Czy to powinno być tak?
Dowód nie wprost:
Załóżmy, że \(\displaystyle{ (a \cdot b) \cdot (a \cdot b) \neq (a \cdot b) \cdot (b \cdot a) }\)
Wtedy \(\displaystyle{ (a \cdot b) \cdot (a \cdot b) \neq a \cdot (b \cdot b) \cdot a }\)
\(\displaystyle{ (a \cdot b) \cdot (a \cdot b) \neq a \cdot e \cdot a}\)
\(\displaystyle{ (a \cdot b) \cdot (a \cdot b) \neq a \cdot a}\)
\(\displaystyle{ (a \cdot b) \cdot (a \cdot b) \neq e}\)
\(\displaystyle{ e \neq e}\)
sprzeczność

[a4karo]

A czy wiesz co masz udowodnic? Skąd się wzięło to "założenie nie wprost"?

[MariaCurie]

A czy wiesz co masz udowodnic? Skąd się wzięło to "założenie nie wprost"?

Działanie w grupie abelowej musi być przemienne, więc założyłam, że nie jest przemienne i wyszła sprzeczność, więc jest przemienne.
Chyba, że lepszym dowodem byłoby po prostu...
\(\displaystyle{ (a \cdot b) \cdot (a \cdot b) = e }\) (z założeń zadania)
\(\displaystyle{ (b \cdot a) \cdot (b \cdot a) = e }\) (z założeń zadania)
więc \(\displaystyle{ a \cdot b \cdot a \cdot b = b \cdot a \cdot b \cdot a }\)
działanie jest przemienne, więc to grupa abelowa

[a4karo]

No nie. Te nierówności niczego nie dowodzą.
Zacznij od początku :co masz udowodnic?

[MariaCurie]

No nie. Te nierówności niczego nie dowodzą.
Zacznij od początku :co masz udowodnic?

Że jest to grupa abelowa, czyli grupa, w której działanie \(\displaystyle{ " \cdot " }\) jest przemienne

[a4karo]

Napisz to wzorkiem

[MariaCurie]

Napisz to wzorkiem

Dla dowolnego \(\displaystyle{ a, b \in G }\) zachodzi \(\displaystyle{ a \cdot b = b \cdot a}\)

[a4karo]

Ok. No to jeszcze raz : `abab=? `

[MariaCurie]

Ok. No to jeszcze raz : `abab=? `

\(\displaystyle{ abab = (ab)(ab) = e}\)

[a4karo]

To teraz pomóż z jednej strony przez `a` a z drugiej przez...

[MariaCurie]

To teraz pomóż z jednej strony przez `a` a z drugiej przez...

Kurcze, przepraszam, dalej nie wiem..
Mnożę to przez \(\displaystyle{ a}\) to dostaję
\(\displaystyle{ (a \cdot b) \cdot (a \cdot b) \cdot a = e \cdot a}\)
Coś takiego. Co teraz?