niewymierność

[xtremalny]

Witam;)...Jak udowodnić, że liczba \(\displaystyle{ \sqrt{n(n+1)}}\) przy czym \(\displaystyle{ n N}\) jest niewymierna?? Czy mógłbym prosić o pełne rozwiązanie?? z góry dzięki


Co wy tak usuwacie treści swych postów? Jest w nich coś złego? Lorek

[Lorek]

Ja bym tak dla pewności napisał \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}_+}\)
Liczba \(\displaystyle{ \sqrt{p}, \; p\in \mathbb{N}_+}\) jest wymierna wtw gdy \(\displaystyle{ p}\) jest kwadratem liczby naturalnej, a u nas
\(\displaystyle{ n^2 liczba \(\displaystyle{ \sqrt{n(n+1)}}\) nie może by wymierna.}\)

[jarekp]

Oto moje rozwiązanie


dowód nie wprost:

załóżmy,że \(\displaystyle{ \sqrt{n(n+1)}}\) jest wymierna i \(\displaystyle{ \sqrt{n(n+1)}=\frac{p}{q}}\)
gdzie \(\displaystyle{ p,q N}\) i \(\displaystyle{ NWD(p,q)=1}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{n(n+1)}=\frac{p}{q}\iff n(n+1)=\frac{p^2}{q^2}\iff q^2n(n+1)=p^2}\)
teraz bierzemy taką liczbę pierwszą r, że \(\displaystyle{ r|n(n+1)}\) i \(\displaystyle{ r^2\nmid n(n+1)}\)
(na pewno taka istnieje gdyż n(n+1) nie jest kwadratem liczby naturalnej)

wtedy \(\displaystyle{ n(n+1)=r*k}\)
mamy więc \(\displaystyle{ q^2rk=p^2\rightarrow r|p}\)
mamy więc \(\displaystyle{ p=r*l}\)
czyli \(\displaystyle{ q^2rk=(rl)^2\iff q^2k=rl^2\rightarrow r|q}\)

otrzymaliśmy sprzecznośc gdyż \(\displaystyle{ NWD(p,q)=1}\)

a więc \(\displaystyle{ \sqrt{n(n+1)}}\) nie jest wymierna



[ Dodano: 17 Października 2007, 14:07 ]
a niech to. Lorek mnie wyprzedził
dla pocieszenia dodam że przeprowadzając analogiczne do podanego przeze mnie rozumowanie można udowodnić to co wykorzystał Lorek:że pierwiastek liczby nauralnej jest wymierny wtw gdy ta liczba jest kwadratem