Warunek z widmem

[mol_ksiazkowy]

Niech \(\displaystyle{ A(x)= \{ \lfloor nx \rfloor : \ n \in \NN \}}\). Dla jakich liczb niewymiernych \(\displaystyle{ \alpha >1}\) jest:

Jeśli \(\displaystyle{ \beta >0 }\) i \(\displaystyle{ A(\beta) \subset A(\alpha) }\), to \(\displaystyle{ \frac{\beta}{\alpha} }\) jest liczbą całkowitą ?

[arek1357]

Rozpiszmy widmo bety:

\(\displaystyle{ ..., \lfloor \beta \rfloor , \lfloor 2\beta \rfloor, \lfloor 3\beta \rfloor,...,\lfloor k\beta \rfloor,...}\)

Ale:

\(\displaystyle{ A(\beta) \subset A(\alpha)}\)

Więc muszą istnieć takie:

\(\displaystyle{ n_{1}, n_{2},...,n_{k}}\),

które będą równe powyższym...

Czyli istnieje takie "podwidmo" \(\displaystyle{ A(\alpha)}\) , które jest równe widmu bety czyli:

\(\displaystyle{ \lfloor n_{1}\alpha\rfloor, \lfloor n_{2}\alpha\rfloor, \lfloor n_{3}\alpha\rfloor ,..., \lfloor n_{k}\alpha\rfloor}\)

co znaczy, że:

\(\displaystyle{ \lfloor i\beta \rfloor=\lfloor n_{i}\alpha\rfloor}\)

co znaczy, że:

\(\displaystyle{ |i\beta-n_{i}\alpha|<1}\)

co daje dwa warunki:

\(\displaystyle{ n_{i}>i \frac{\beta}{\alpha}- \frac{1}{\alpha} \wedge n_{i}<i \frac{\beta}{\alpha}+ \frac{1}{\alpha}}\)

Zauważmy, że \(\displaystyle{ n_{i}}\) to liczba naturalna , a liczby:

\(\displaystyle{ i \frac{\beta}{\alpha}}\) jeżeli będą niewymierne to liczby \(\displaystyle{ \left\{ i \frac{\beta}{\alpha} \right\} }\) też są niewymierne z przedziału: \(\displaystyle{ (0;1)}\) , mało tego liczby te będą tworzyć zbiór gęsty , więc na pewno znajdzie się takie \(\displaystyle{ n_{i}}\), które nie będzie liczbą całkowitą co daje sprzeczność a więc:

\(\displaystyle{ \frac{\beta}{\alpha} }\) powinno być liczbą całkowitą...

Tak mniej więcej widzę tę sprawę z widmem ... bo:

zdefiniujmy:

\(\displaystyle{ B(\alpha)=\left\{ \alpha\right\} , \left\{ 2\alpha\right\} , \left\{ 3\alpha\right\} ,...}\)

{} - część ułamkowa, to jeżeli alpha to liczba niewymierna to ten zbiór będzie gęsty w przedziale \(\displaystyle{ (0;1)}\)...