Niech \(\displaystyle{ A(x)= \{ \lfloor nx \rfloor : \ n \in \NN \}}\). Dla jakich liczb niewymiernych \(\displaystyle{ \alpha >1}\) jest:
Jeśli \(\displaystyle{ \beta >0 }\) i \(\displaystyle{ A(\beta) \subset A(\alpha) }\), to \(\displaystyle{ \frac{\beta}{\alpha} }\) jest liczbą całkowitą ?
Warunek z widmem
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11406
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Warunek z widmem
Ostatnio zmieniony 13 sty 2021, o 10:21 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Warunek z widmem
Rozpiszmy widmo bety:
\(\displaystyle{ ..., \lfloor \beta \rfloor , \lfloor 2\beta \rfloor, \lfloor 3\beta \rfloor,...,\lfloor k\beta \rfloor,...}\)
Ale:
\(\displaystyle{ A(\beta) \subset A(\alpha)}\)
Więc muszą istnieć takie:
\(\displaystyle{ n_{1}, n_{2},...,n_{k}}\),
które będą równe powyższym...
Czyli istnieje takie "podwidmo" \(\displaystyle{ A(\alpha)}\) , które jest równe widmu bety czyli:
\(\displaystyle{ \lfloor n_{1}\alpha\rfloor, \lfloor n_{2}\alpha\rfloor, \lfloor n_{3}\alpha\rfloor ,..., \lfloor n_{k}\alpha\rfloor}\)
co znaczy, że:
\(\displaystyle{ \lfloor i\beta \rfloor=\lfloor n_{i}\alpha\rfloor}\)
co znaczy, że:
\(\displaystyle{ |i\beta-n_{i}\alpha|<1}\)
co daje dwa warunki:
\(\displaystyle{ n_{i}>i \frac{\beta}{\alpha}- \frac{1}{\alpha} \wedge n_{i}<i \frac{\beta}{\alpha}+ \frac{1}{\alpha}}\)
Zauważmy, że \(\displaystyle{ n_{i}}\) to liczba naturalna , a liczby:
\(\displaystyle{ i \frac{\beta}{\alpha}}\) jeżeli będą niewymierne to liczby \(\displaystyle{ \left\{ i \frac{\beta}{\alpha} \right\} }\) też są niewymierne z przedziału: \(\displaystyle{ (0;1)}\) , mało tego liczby te będą tworzyć zbiór gęsty , więc na pewno znajdzie się takie \(\displaystyle{ n_{i}}\), które nie będzie liczbą całkowitą co daje sprzeczność a więc:
\(\displaystyle{ \frac{\beta}{\alpha} }\) powinno być liczbą całkowitą...
Tak mniej więcej widzę tę sprawę z widmem ... bo:
zdefiniujmy:
\(\displaystyle{ B(\alpha)=\left\{ \alpha\right\} , \left\{ 2\alpha\right\} , \left\{ 3\alpha\right\} ,...}\)
{} - część ułamkowa, to jeżeli alpha to liczba niewymierna to ten zbiór będzie gęsty w przedziale \(\displaystyle{ (0;1)}\)...
\(\displaystyle{ ..., \lfloor \beta \rfloor , \lfloor 2\beta \rfloor, \lfloor 3\beta \rfloor,...,\lfloor k\beta \rfloor,...}\)
Ale:
\(\displaystyle{ A(\beta) \subset A(\alpha)}\)
Więc muszą istnieć takie:
\(\displaystyle{ n_{1}, n_{2},...,n_{k}}\),
które będą równe powyższym...
Czyli istnieje takie "podwidmo" \(\displaystyle{ A(\alpha)}\) , które jest równe widmu bety czyli:
\(\displaystyle{ \lfloor n_{1}\alpha\rfloor, \lfloor n_{2}\alpha\rfloor, \lfloor n_{3}\alpha\rfloor ,..., \lfloor n_{k}\alpha\rfloor}\)
co znaczy, że:
\(\displaystyle{ \lfloor i\beta \rfloor=\lfloor n_{i}\alpha\rfloor}\)
co znaczy, że:
\(\displaystyle{ |i\beta-n_{i}\alpha|<1}\)
co daje dwa warunki:
\(\displaystyle{ n_{i}>i \frac{\beta}{\alpha}- \frac{1}{\alpha} \wedge n_{i}<i \frac{\beta}{\alpha}+ \frac{1}{\alpha}}\)
Zauważmy, że \(\displaystyle{ n_{i}}\) to liczba naturalna , a liczby:
\(\displaystyle{ i \frac{\beta}{\alpha}}\) jeżeli będą niewymierne to liczby \(\displaystyle{ \left\{ i \frac{\beta}{\alpha} \right\} }\) też są niewymierne z przedziału: \(\displaystyle{ (0;1)}\) , mało tego liczby te będą tworzyć zbiór gęsty , więc na pewno znajdzie się takie \(\displaystyle{ n_{i}}\), które nie będzie liczbą całkowitą co daje sprzeczność a więc:
\(\displaystyle{ \frac{\beta}{\alpha} }\) powinno być liczbą całkowitą...
Tak mniej więcej widzę tę sprawę z widmem ... bo:
zdefiniujmy:
\(\displaystyle{ B(\alpha)=\left\{ \alpha\right\} , \left\{ 2\alpha\right\} , \left\{ 3\alpha\right\} ,...}\)
{} - część ułamkowa, to jeżeli alpha to liczba niewymierna to ten zbiór będzie gęsty w przedziale \(\displaystyle{ (0;1)}\)...