Ciekawa właściwość wielokrotności 3

[Unproffesional]

Cześć, wszystkim niedawno odkryłem ciekawą właściwość wielokrotności liczby 3 i chciałem się dowiedzieć czy ma to jakąś nazwę? Bo podejrzewam, że już wcześniej ktoś to odkrył. Poniżej postaram się opisać o co mi chodzi. Jeżeli to zły dział, proszę o przeniesienie tematu do właściwego.


\(\displaystyle{ 3,6,9}\)

\(\displaystyle{ 12,15,18}\)

\(\displaystyle{ 21,24,27}\)

\(\displaystyle{ ...}\)

i teraz o co chodzi

Suma cyfr 12 to:
\(\displaystyle{
1 + 2 = 3
}\)

Suma cyfr 15 to:
\(\displaystyle{
1 + 5= 6
}\)

Suma cyfr 18 to:
\(\displaystyle{
1 + 8 = 9
}\)

Czyli znowu otrzymujemy "poczatkowe"
\(\displaystyle{
3,6, 9
}\)

W przypadku kolejnych tróje wielokrotności 3 sytuacja jest analogiczna.

W przypadku niektórych wielokrotności zdarza się sytuacja, że sumowanie cyfr trzeba powtórzyć. np.

39
\(\displaystyle{
3+9=12 \Rightarrow 1+2=3
}\)

Czy to ma jakąś swoja nazwę? Ktoś to badał?

[Premislav]

Oznaczmy przez \(\displaystyle{ S(n)}\) sumę cyfr(w zapisie dziesiętnym) liczby całkowitej dodatniej \(\displaystyle{ n}\). Wówczas zachodzi \(\displaystyle{ n\equiv S(n)\pmod{3}}\), a nawet mamy mocniejszą własność: \(\displaystyle{ n\equiv S(n)\pmod{9}}\), Po ludzku:
liczba \(\displaystyle{ n}\) daje taką samą resztę z dzielenia przez dziewięć, co suma jej cyfr.

Szczególny przypadek: jeśli \(\displaystyle{ 3}\) dzieli \(\displaystyle{ n}\), to \(\displaystyle{ S(n)\equiv 0\pmod{3}}\), czyli trzy dzieli też \(\displaystyle{ S(n)}\). No i jak składamy ze sobą samą operację \(\displaystyle{ S}\), to w związku z tym ta reszta się nie zmienia, a przy każdym przebiegu operacji, dopóki nie dostaniemy zapętlenia (a nie dostaniemy dla liczby większej niż dziewięć, ergo przynajmniej dwucyfrowej), otrzymana liczba \(\displaystyle{ S(S\ldots (S(n))\ldots )}\) się zmniejsza i nie stabilizuje się (co mógłbym udowodnić, ale nie wiem, czy to nie wprowadzi tylko większego zamieszania), więc startując od liczby podzielnej przez trzy, w pewnym momencie dojdziemy do trójki.

[Brombal]

Można pokusić się o ogólniejszą właściwość.
Dla dowolnego systemu liczbowego o podstawie \(\displaystyle{ k}\)
Jeżeli liczba \(\displaystyle{ n _{(k)} |k-1}\) to również \(\displaystyle{ S(n) _{(k)} |k-1}\).
przykładowo
\(\displaystyle{ 115 _{(8)} |7}\) \(\displaystyle{ (77 _{(10)} )}\)
\(\displaystyle{ 133 _{(8)} |7}\) \(\displaystyle{ (91 _{(10)} )}\)

[Bran]

Myślę, że autor ucieszy się z odpowiedzi: Cecha podzielności liczby przez \(\displaystyle{ 3.}\)

[Brombal]

Być może autor dowiedział się o tym, że jest to pierwotnie cecha podzielności liczby przez 9.
Analogicznie jak w systemie liczbowym siedemnastkowym występuje cecha podzielności liczby przez 4.