liczby wymierne - dowód

[lukkaszga]

prośba o pomoc i nakierowanie na sposób podejścia do rozwiązania zadania:

Dane są dodatnie liczby wymierne \(\displaystyle{ a, b}\), dla których liczba \(\displaystyle{ \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{ab} }\) jest wymierna. Wykaż, że liczby \(\displaystyle{ \sqrt{a} , \sqrt{b} }\) też są wymierne.

[Janusz Tracz]

Spróbuj pokazać, że gdy \(\displaystyle{ a,b\in\QQ}\) takie, że \(\displaystyle{ \sqrt{a} + \sqrt{b}+ \sqrt{ab}\in\QQ }\) to:

\(\displaystyle{ 1) }\) \(\displaystyle{ b\sqrt{a} + a\sqrt{b}+ \sqrt{ab}\in\QQ}\)

\(\displaystyle{ 2)}\) \(\displaystyle{ \left( b-1\right) \sqrt{a}+\left( a-1\right) \sqrt{b}\in\QQ }\)

\(\displaystyle{ 3)}\)\(\displaystyle{ \sqrt{ab}\in\QQ }\)

Zatem korzystając z założenia \(\displaystyle{ \sqrt{a} + \sqrt{b}+ \sqrt{ab}\in\QQ }\) i ostatniego faktu \(\displaystyle{ (3)}\):

\(\displaystyle{ \sqrt{a}+ \sqrt{b} \in \QQ }\)

czyli również

\(\displaystyle{ -\left( a-1\right) \sqrt{a}-\left( a-1\right) \sqrt{b} \in \QQ }\)

co po dodaniu do faktu \(\displaystyle{ (2)}\) daje praktycznie tezę.

[a4karo]

Jeżeli `\sqrt a+\sqrt b+\sqrt{ab}=w`, to `sqrt a+\sqrt b=w-\sqrt{ab}`. Podnieś to do kwadratu i wywnioskuj , że `\sqrt{ab}` jest wymierna
Zatem `\sqrt a+\sqrt b=v` jest wymierne. Podnieś `\sqrt a=v-\sqrt b` do kwadratu i już