Rozkład wielomianu w pierścieniu

[qwerty355]

Mam problem z rozkładaniem wielomianów na czynniki w danym pierścieniu. Jeśli mam dany wielomian, np. \(\displaystyle{ x^2 + 2x + 2 }\) i rozkładam go na czynniki w pierścieniu \(\displaystyle{ \ZZ_5[x]}\), to powinienem otrzymać \(\displaystyle{ (x-1)(x-2)}\). Nie wiem jednak, jak dojść do takiego rozwiązania. Łatwo można zgadnąć, że \(\displaystyle{ 1 }\) zeruje ten wielomian w pierścieniu \(\displaystyle{ \ZZ_5[x]}\) i następnie podzielić go przez \(\displaystyle{ x -1 }\). Czy istnieje jakiś inny sposób, aby znaleźć pierwiastki wielomianu w pierścieniu bez zgadywania jednego z nich? O ile w tym przykładzie w łatwy sposób można było odgadnąć jeden z pierwiastków, to w innym przykładzie: \(\displaystyle{ 3x^2 + 5 }\) w pierścieniu \(\displaystyle{ \ZZ_7[x]}\) nie jest to takie oczywiste. Czy ktoś mógłby mi wytłumaczyć, w jaki sposób mogę rozłożyć ten wielomian na czynniki lub przedstawić sposób na rozwiązywanie tego typu zadań?

[a4karo]

Deltę policz

[qwerty355]

Po policzeniu delty i pierwiastków równania \(\displaystyle{ x^{2} + 2x + 2 }\) otrzymuję \(\displaystyle{ x_1 = -1 - i }\) oraz \(\displaystyle{ x_2 = -1 + i }\). Nie wiem jednak, jak to się ma do pierwiastków w pierścieniu - skąd otrzymać, że to \(\displaystyle{ 1 }\) i \(\displaystyle{ 2 }\) ?

[a4karo]

A skąd bierzesz `i`? Pierwiastek masz policzyc z `\ZZ_7`

Dodano po 29 sekundach:
Tam nie ma liczb ujemnych,

[qwerty355]

Ten przykład jest akurat w \(\displaystyle{ \ZZ_5 }\), kolejny jest w \(\displaystyle{ \ZZ_7 }\). Więc jeśli delta wychodzi \(\displaystyle{ -4 }\) to mam przyjąć, że w \(\displaystyle{ \ZZ_5}\) będzie to \(\displaystyle{ 1 }\) i analogicznie wyliczyć \(\displaystyle{ x_1 }\) i \(\displaystyle{ x_2 }\)?

[a4karo]

Tak

[qwerty355]

Dziękuję za pomoc.