Całkowita suma

[mol_ksiazkowy]

Jakie całkowite wartości może przyjąć wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{x}{y^2z^2} + \frac{y}{x^2z^2} + \frac{z}{y^2x^2} }\) jeśli \(\displaystyle{ x, y, z }\) są liczbami całkowitymi ?

[a4karo]

Dla `y=-z\ne 0` oraz `x=vy^2z^2` wyrażenie przyjmuje wartość `v`, więc zbiór wartości to co najmniej `\ZZ\setminus\{0\}`.

Zera chyba nie da się dostać, ale dowodu nie mam

Mam dowód, ale nie mam czasu, żeby go zapisać. Wrócę do tematu

[Premislav]

Przy pewnej (ten temat jest dość popularny, a dowód tego szczególnego przypadku – całkiem elementarny) wiedzy dowód, że nie można otrzymać zera, wydaje się wręcz natychmiastowy. Oczywiście \(\displaystyle{ x\neq 0, \ y\neq 0, \ z\neq 0}\), żeby te ułamki były określone. Przypuśćmy, że dla pewnych całkowitych \(\displaystyle{ x,y,z}\) jest
\(\displaystyle{ \frac{x}{(yz)^{2}}+\frac{y}{(zx)^{2}}+\frac{z}{(xy)^{2}}=0}\), po sprowadzeniu do wspólnego mianownika łatwo daje nam to
\(\displaystyle{ x^{3}+y^{3}+z^{3}=0}\) (bo jeśli ułamek jest zerem, to licznik musi się zerować).
Jeśli \(\displaystyle{ x<0, y,z>0}\), to \(\displaystyle{ -x\in \NN^{+}, \ y\in \NN^{+}, \ z\in \NN^{+}}\) i przekształcamy to do postaci \(\displaystyle{ y^{3}+z^{3}=(-x)^{3}}\) a to przeczy wielkiemu twierdzeniu Fermata dla \(\displaystyle{ n=3}\). Podobnie w pozostałych przypadkach (można je ograniczyć do dwóch, bez straty ogólności obierając zmienną o maksymalnym module).

[Brombal]

Pomijając \(\displaystyle{ 0}\)
Jeżeli
\(\displaystyle{ y=-x}\)
a dla \(\displaystyle{ k}\) całkowitego (bez \(\displaystyle{ 0}\))
\(\displaystyle{ z= k \cdot x^4}\)
wynikiem będzie liczba \(\displaystyle{ k}\)
dla dodatnich
\(\displaystyle{ x=y=z=1}\)
wynik to \(\displaystyle{ 3}\)
oraz dla wszystkich kombinacji \(\displaystyle{ x,y,z}\) odpowiednio \(\displaystyle{ 1,2,3}\)
wynik to \(\displaystyle{ 1}\)

Zdaje się że po czasie

Dodano po 3 godzinach 11 minutach 1 sekundzie:
A gdyby podstawić tak
\(\displaystyle{ x=-10^{77}}\)
\(\displaystyle{ y=10^{77}}\)
\(\displaystyle{ z=1}\)
Taki żart excelowy