Symbol Lagrange'a

[Iza8723]

Udowodnij, że \(\displaystyle{ ( \frac{-2}{p})=1 }\), jeśli \(\displaystyle{ p= _{8} 3 }\). Wykorzystaj równość \(\displaystyle{ -2= 2 \cdot (-1)}\) i odpowiednie własności symbolu Lagrange'a

[Premislav]

To jest symbol Legendre'a, a nie Lagrange'a

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Symbol_Legendre%E2%80%99a

Informacje tu zawarte wystarczają aż nadto do rozwiązania zadania. Wiemy, że \(\displaystyle{ p\equiv_{3}\pmod{8}}\) i w zasadzie wystarczy, że udowodnimy, iż \(\displaystyle{ (-2)^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1\pmod{p}}\). Tak na oko pomaga spostrzeżenie, że z MTF rząd \(\displaystyle{ -2}\) modulo \(\displaystyle{ p}\) jest dzielnikiem \(\displaystyle{ p-1}\).

[Iza8723]

Przepraszam za przejęzyczenie.

Faktycznie mieliśmy takie twierdzenie i wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ (-2) ^{ \frac{p-1}{2} }=1 (\bmod p) }\) Czyli w takim razie mam do pokazania, że \(\displaystyle{ (-2) ^{ \frac{p-1}{2} }=1 (\bmod \ 3(\bmod \ 8)) }\) tak ? Ale kompletnie nie wiem jak to dalej rozpisać

Dodano po 17 godzinach 48 minutach 51 sekundach:
Tak sobie myslę, że skoro mogę użyć własności symbolu Legendre'a to czy mogę tak to rozpisać
\(\displaystyle{ ( \frac{-2}{p})=( \frac{-1}{p})( \frac{2}{p})=( \frac{-1}{p}) (-1) ^{ \frac{p ^{2}-1 }{8} } }\)

Korzystam tu z własności, że \(\displaystyle{ ( \frac{2}{p})=(-1) ^{ \frac{p ^{2}-1 }{8} }}\)
I skoro \(\displaystyle{ p= _{8} \ 3 }\) to \(\displaystyle{ p ^{2} = _{8} 9 = _{8} 1 }\) tak ?
Bo jak rozpisałam to dalej to wyszło :
\(\displaystyle{ ( \frac{-1}{p}) (-1) ^{ \frac{p ^{2}-1 }{8} } = ( \frac{-1}{p}) (-1) ^{ \frac{0}{8} } =( \frac{-1}{p}) }\)

I teraz korzystam z tego że \(\displaystyle{ ( \frac{-1}{p})= (-1) ^{ \frac{p-1}{2} } }\)
i wychodzi \(\displaystyle{ (-1) ^{ \frac{3-1}{2} }= -1 }\)

Jednak miało wyjśc \(\displaystyle{ 1}\) gdzie zrobiłam błąd ?