Rozwiąż układ kongruencji

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Iza8723
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 187
Rejestracja: 22 kwie 2020, o 19:01
Płeć: Kobieta
wiek: 18
Podziękował: 9 razy

Rozwiąż układ kongruencji

Post autor: Iza8723 »

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=2 \pmod{6} \\ x=6 \pmod{8} \end{cases} }\)

Jak rozwiązać ten układ równań , skoro nie mogę skorzystać z chińskiego tw. o resztach, bo \(\displaystyle{ 6}\) i \(\displaystyle{ 8}\) nie są względnie pierwsze?

Dodano po 41 minutach 17 sekundach:
Rozpisałam ten układ następująco
\(\displaystyle{ x= 2 \pmod{3}}\)
\(\displaystyle{ x= 2 \pmod{2}}\)
\(\displaystyle{ x= 6 \pmod{2}}\)
\(\displaystyle{ x= 6 \pmod{2}}\)
\(\displaystyle{ x= 6 \pmod{2}}\)

Nastepnie usunęłam powtarzając się równania i otrzymałam:
\(\displaystyle{ x= 2 \pmod{3}}\)
\(\displaystyle{ x= 0 \pmod{2}}\)
I rozwiązałam to z chińskiego tw. o reszcie , ale otrzymałam wynik \(\displaystyle{ x=2 }\) ale wynik ten nie spełnia wyjściowego układu, np. z \(\displaystyle{ x=6 \pmod{8}}\).
Ostatnio zmieniony 2 lis 2020, o 16:37 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Rozwiąż układ kongruencji

Post autor: kerajs »

Iza8723 pisze: 2 lis 2020, o 16:25
Jak rozwiązać ten układ równań , skoro nie mogę skorzystać z chińskiego tw. o resztach, bo \(\displaystyle{ 6}\) i \(\displaystyle{ 8}\) nie są względnie pierwsze?
A muszą być względnie pierwsze?

\(\displaystyle{ x=24k+14}\)
Iza8723
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 187
Rejestracja: 22 kwie 2020, o 19:01
Płeć: Kobieta
wiek: 18
Podziękował: 9 razy

Re: Rozwiąż układ kongruencji

Post autor: Iza8723 »

Jak nie są pierwsze to należy chyba sprowadzić tak jak ja to zrobiłam, dobrze myślę? i wtedy skorzystać z chińskiego tw. o reszcie . Tylko nie wiem dlaczego mój wynik się nie zgadza z twoim. Mógłbyś rozpisać to używając chińskiego twierdzenia, bo tak kazał prowadzący
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Rozwiąż układ kongruencji

Post autor: kerajs »

\(\displaystyle{ x=8m+6=8(3k+l)+6=24k+8l+6=6(4k+l+1)+2l}\)
skoro reszta z dzielenia przez 6 wynosi 2 to wystarczy aby \(\displaystyle{ l=1}\), a stąd: \(\displaystyle{ x=6(4l+1+1)+2=24k+14}\)
ODPOWIEDZ