Liczba podzielna przez zbiór liczb bez reszty

[matmac75]

Witam ! Jestem amatorem jeżeli chodzi o matematykę..proszę o wyrozumiałość...liczba 2520 jest najmniejszą liczbą podzielną przez liczby 1 do 10 bez reszty. Napisałem sobie program w turbo Pascalu, który znalazł liczbę 720720, która to z kolei jest najmniejszą liczbą podzielną bez reszty przez liczby od 1 do 16..Czy należy się spodziewać, że każdy zbiór liczb naturalnych od 1 do n ma swoją liczbę, która to liczba dzieli się przez zbiór 1 do n bez reszty ?

[a4karo]

Tak. I przepis na jej znalezienie jest dość prosty.
PO pierwsze: iloczyn `2\cdot3\cdot\ldots\cdot n=n!` będzie taką liczbą. Z dość oczywistych oczywistych względów nie bedzie ona najmniejsza (wyjątkiem są `n=1,2,3`)

Pokażę Ci jak znależć taka liczbę dla `n=30`. przypadek dowolnego `n` rozpatruje się analogicznie.

Analizujemy wszystkie liczby pierwsze `\le 30` i przyglądamy się z jaką najwyższą potęgą wchodzą one w rozwinięcie każdej z liczb `1,2,\dots,n`:

`29` z potęgą `1` (bo `29|29` a `29^2>30`
`23` z potęgą `1`
`19` z potęgą `1`
`17` z potęgą `1`
`13` z potęgą `1`
`11` z potęgą `1`
`7` z potęgą `1` (nie dziw się: wszystkie liczby pierwsze większe od `\sqrt{30)` wchodzą z potęgą `1`
`5` z potęgą `2` (bo `5^2=25`)
`3` z potęgą `3`,( bo `3^3=27`)
`2` z potęgą `4` (bo `2^4=16` a `2^2>30`)

Liczba, której szukasz (najmniejsza z możliwych) to `2^4\cdot3^3\cdot 5^2\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot23\cdot 29`

[matmac75]

Sprawdziłem ..działa.. dzięki !