Liczby pierwsze

[Kera]

Witam.
Czy oprócz liczb pierwszych \(\displaystyle{ 11}\) i \(\displaystyle{ 101}\) , występują inne liczby pierwsze postaci \(\displaystyle{ 10^{n} +1}\) ? jeżeli tak to proszę o link.

[Premislav]

Obawiam się, że nie wiadomo. Rzecz jasna, jeśli wykładnik dziesiątki \(\displaystyle{ n}\) ma dzielnik nieparzysty \(\displaystyle{ r}\) większy niż jeden, to możemy skorzystać ze wzoru na sumę \(\displaystyle{ r}\)-tych potęg, by uzasadnić złożoność. Zatem jedyna możliwość na liczbę pierwszą postulowanej postaci, to
\(\displaystyle{ 10^{2^{i}}+1, \ i\in \NN}\) (dla \(\displaystyle{ i=0}\) otrzymujemy jedenaście, dla \(\displaystyle{ i=1}\) mamy sto jeden). Pozostaje więc sprawdzać liczby takiej postaci, które oczywiście niestety rosną bardzo szybko.

No i tutaj moce wolframa dość szybko się kończą, nic więcej nie wymyślę. See also:

Kod: Zaznacz cały

https://math.stackexchange.com/questions/2108085/is-there-a-prime-which-is-the-form-of-10n-1-except-2-11-101

[JHN]

... jeśli wykładnik dziesiątki \(\displaystyle{ n}\) ma dzielnik nieparzysty \(\displaystyle{ r}\) większy niż jeden, to możemy skorzystać ze wzoru na sumę \(\displaystyle{ r}\)-tych potęg, by uzasadnić złożoność...

Albo, bezpośrednio z cechy, zauważyć podzielność przez \(\displaystyle{ 11}\).

Pozdrawiam

Przez \(\displaystyle{ 11}\) dzielą się te liczby naturalne, dla których różnica sum cyfr rzędów parzystych i nieparzystych jest podzielna przez \(\displaystyle{ 11}\).

[Kera]

A czy liczba \(\displaystyle{ 43}\) może być dzielnikiem liczb postaci \(\displaystyle{ 10 ^{n}+1}\) ?

[a4karo]

LIczby postaci `10^{4k+2}+1` dzielą sie przez `101`
Liczby postaci `10^{8k+4}+1` dzielą się przez `73`

[Brombal]

Ciekawe zagadnienie.
Specyficzna postać liczby ma związek z zastosowanym systemem liczbowym. Nie powinno to mieć wpływu na samo pierwszeństwo liczby.
Sprawdziłem dla spokoju ducha parę liczb w postaci \(\displaystyle{ 10^i+3}\).
Dla tych liczb wynik jest nieco odmienny.
Liczby
\(\displaystyle{ 10^1+3}\), \(\displaystyle{ 10^2+3}\), \(\displaystyle{ 10^5+3}\),\(\displaystyle{ 10^6+3}\), \(\displaystyle{ 10^{11}+3}\), \(\displaystyle{ 10^{17}+3}\), \(\displaystyle{ 10^{18}+3}\), \(\displaystyle{ 10^{39}+3}\), \(\displaystyle{ 10^{56}+3}\), \(\displaystyle{ 10^{101}+3}\), \(\displaystyle{ 10^{105}+3}\), \(\displaystyle{ 10^{107}+3}\), \(\displaystyle{ 10^{123}+3}\), \(\displaystyle{ 10^{413}+3}\), \(\displaystyle{ 10^{426}+3}\)
są pierwsze a dalej posucha.
Parę liczb w postaci \(\displaystyle{ 10^i+7}\).
\(\displaystyle{ 10^1+7}\), \(\displaystyle{ 10^2+7}\), \(\displaystyle{ 10^4+7}\), \(\displaystyle{ 10^8+7}\), \(\displaystyle{ 10^9+7}\), \(\displaystyle{ 10^{24}+7}\), \(\displaystyle{ 10^{60}+7}\), \(\displaystyle{ 10^{110}+7}\), \(\displaystyle{ 10^{134}+7}\), \(\displaystyle{ 10^{222}+7}\), \(\displaystyle{ 10^{412}+7}\), \(\displaystyle{ 10^{700}+7}\), \(\displaystyle{ 10^{999}+7}\), \(\displaystyle{ 10^{1383}+7}\)
są pierwsze.
Parę liczb w postaci \(\displaystyle{ 10^i+9}\).
\(\displaystyle{ 10^1+9}\), \(\displaystyle{ 10^2+9}\), \(\displaystyle{ 10^3+9}\), \(\displaystyle{ 10^4+9}\), \(\displaystyle{ 10^9+9}\), \(\displaystyle{ 10^{18}+9}\), \(\displaystyle{ 10^{22}+9}\), \(\displaystyle{ 10^{45}+9}\), \(\displaystyle{ 10^{49}+9}\), \(\displaystyle{ 10^{56}+9}\), \(\displaystyle{ 10^{69}+9}\), \(\displaystyle{ 10^{146}+9}\), \(\displaystyle{ 10^{202}+9}\), \(\displaystyle{ 10^{272}+9}\),
W porównaniu do postaci \(\displaystyle{ 10^i+1}\) wygląda to odmiennie.

Dodano po 22 godzinach 22 minutach 54 sekundach:
Odnośnie podzielności liczby w postaci \(\displaystyle{ 10^i+1}\) przez \(\displaystyle{ 43}\) To na chwilę obecną wszystkie liczby do \(\displaystyle{ 10^{146000}+1}\) nie są podzielne przez \(\displaystyle{ 43}\). Jeszcze trochę poczekam przed zatrzymaniem programu.

Dodano po 8 godzinach 10 minutach 19 sekundach:
Znalazłem pewną prawidłowość stąd...
Takie zapytanie to tematu powyższego.
Dla liczb naturalnych \(\displaystyle{ x,y, k}\) gdzie \(\displaystyle{ x \ge 1}\), \(\displaystyle{ k \ge 0}\)
Da się przedstawić od pewnej określonej (nie wiem jakiej) wartości \(\displaystyle{ y}\) dowolna liczbę \(\displaystyle{ y(x,k)=3x+2kx}\).
Można to jakoś wykazać?

Prawidłowość jest następująca.

\(\displaystyle{ f(x)=10^x+1}\)
\(\displaystyle{ f(x)\mid {f(3x+k2x)}}\) gdzie \(\displaystyle{ k \ge 0}\)

Dodano po 31 minutach 42 sekundach:
Zapiszę to inaczej
\(\displaystyle{ {10^i+1}\mid {10^{i(3+2k)}+1}}\) gdzie \(\displaystyle{ k \in N}\) oraz \(\displaystyle{ k \ge 0}\)
przykładowo
\(\displaystyle{ 1000001 \mid {1000000000000001}}\)
\(\displaystyle{ 1000001 \mid {10000000000000000000000000000001}}\) jeżeli dobrze policzyłem zera
\(\displaystyle{ 1000001 \mid {10000000000000000000000000000000000000000001}}\) jeżeli dobrze policzyłem zera

[Dasio11]

Znalazłem pewną prawidłowość stąd...
Takie zapytanie to tematu powyższego.
Dla liczb naturalnych \(\displaystyle{ x,y, k}\) gdzie \(\displaystyle{ x \ge 1}\), \(\displaystyle{ k \ge 0}\)
Da się przedstawić od pewnej określonej (nie wiem jakiej) wartości \(\displaystyle{ y}\) dowolna liczbę \(\displaystyle{ y(x,k)=3x+2kx}\).
Można to jakoś wykazać?

W podanej postaci przedstawiają się wszystkie liczby z wyjątkiem potęg dwójki, a Twoją prawidłowość opisał już Premislav w pierwszym poście.

[Brombal]

No to się naodkrywałem prawidłowości .
Chociaż właściwie to dodałem ułatwienie jak znaleźć liczbę dzielącą daną
przykładowo
\(\displaystyle{ {10^{1234567890}+1} \mid {10^{20 989 657 130}+1}}\)

Dodano po 15 godzinach 19 minutach 50 sekundach:
Korzystając z właściwości - dla Kera
\(\displaystyle{ {10753}\mid{10^{256}+1}\mid{10^{100000000}+1}}\)