Udowodnij, że grupy C6 oraz C2×C3 są izomorficzne.

[Nie_kujonka]

Udowodnij, że grupy \(\displaystyle{ C_6}\) oraz \(\displaystyle{ C_2 \oplus C_3}\) są izomorficzne.

W grupie \(\displaystyle{ C_2 \oplus C_3}\) istnieje element rzędu 6, natomiast każdy nietrywialny element ma rząd 2 lub 3.
Proszę o pomoc, bo nie wiem jak poprawnie to udowodnić.

[a4karo]

A może ten, co ma rząd sześć jest generatorem tej grupy

[Nie_kujonka]

A może ten, co ma rząd sześć jest generatorem tej grupy

Niestety niekoniecznie, bo może mieć rząd 12 i też być generatorem grupy

[a4karo]

A wiesz ile elementów ma ta grupa?

[Nie_kujonka]

Ma 6 elementów, ale grupa \(\displaystyle{ C_2 \oplus C_2 }\) ma 4 elementy, ale nie jest izomorficzna z \(\displaystyle{ C_4}\)

[Jan Kraszewski]

Niestety niekoniecznie, bo może mieć rząd 12

Ma 6 elementów,

No to w grupie sześcioelementowej nie uświadczysz elementu rzędu \(\displaystyle{ 12}\).

JK

[Nie_kujonka]

Niestety niekoniecznie, bo może mieć rząd 12

Ma 6 elementów,

No to w grupie sześcioelementowej nie uświadczysz elementu rzędu \(\displaystyle{ 12}\).

JK

No to w grupie \(\displaystyle{ C_2 \oplus C_2}\) mamy 4 elementy, ale grupa nie jest izomorficzna z \(\displaystyle{ C_4}\), to dlaczego \(\displaystyle{ C_2 \oplus C_3}\) ma być izomorficzna z \(\displaystyle{ C_6}\)?

[a4karo]

No i co z tego?

Ale jak znajdziesz w szescioelementowej grupie element rzędu sześć, to powinnaś umieć wskazac izomorfizm z grupą cykliczną

[Nie_kujonka]

Zbiorem generatorów grupy \(\displaystyle{ G=C_2 \oplus C_3}\) jest para \(\displaystyle{ a, b \in C_2 \oplus C_3}\), gdzie \(\displaystyle{ a^2=e=b^3}\), ale \(\displaystyle{ g^6=a^6b^6=e}\) i co dalej ?

[a4karo]

Może podaj jakiś konkretny generator. Przecież `C_2` to zbiór `\{0,1\}` z wiadomo jakim działaniem i podobnie `C_3`

A jaki jest generator `C_6`?

[Nie_kujonka]

Generatorem \(\displaystyle{ C_6}\) jest \(\displaystyle{ \left\langle 1\right\rangle}\)

[Jan Kraszewski]

Zbiorem generatorów grupy \(\displaystyle{ G=C_2 \oplus C_3}\) jest para \(\displaystyle{ a, b \in C_2 \oplus C_3}\),

To nie wygląda dobrze...

Para nie jest zbiorem, ponadto parę zapisujemy inaczej.

Generatorem \(\displaystyle{ C_6}\) jest \(\displaystyle{ \left\langle 1\right\rangle}\)

A co to jest \(\displaystyle{ \left\langle 1\right\rangle}\) ?

JK

[Nie_kujonka]

To może tak, \(\displaystyle{ C_2 \in \{e,a\}}\) i \(\displaystyle{ C_3 \in \{e,b,b^2\}}\), grupa \(\displaystyle{ G=C_2 \oplus C_3}\). Grupa \(\displaystyle{ G}\) zawiera elementy rzędu, co najwyżej 6. Grupa \(\displaystyle{ G=C_2 \oplus C_3}\) nie jest cykliczna, bo nie istnieje element, który ją generuje, to jest oczywiste.
Grupa \(\displaystyle{ C_6 \in \{e, c, c^2, c^3, c^4, c^5\}}\), generatorem \(\displaystyle{ C_6}\) jest \(\displaystyle{ \left\langle c\right\rangle =\{e, c, c^2, c^3, c^4, c^5\}}\). To już wygląda znacznie lepiej

[a4karo]

CZy rozumiesz to, co piszesz? Znalazłaś grupie `C_2\oplus C_3` element rzędu `6` i piszesz, że nie ma elementu, który ją generuje? Czy w ogóle wiesz co to jest generator i znasz jego podstawowe własności.
No i te symbole należenia - strach

Dodano po 1 minucie 32 sekundach:
To nie wygląda lepiej. Generatorem grupy nie jest cała grupa.

[Nie_kujonka]

No więc tak grupa \(\displaystyle{ G=C_2 \oplus C_3}\) ma 6 elementów i \(\displaystyle{ a^2b^2=b^2 \ne e}\), \(\displaystyle{ a^3b^3=a \ne e}\), żeby uzyskać element neutralny musi być \(\displaystyle{ a^6b^6= e}\), ale jak dla mnie jest to za mało, żeby stwierdzić, że \(\displaystyle{ C_2 \oplus C_3}\) jest izomorficzne z \(\displaystyle{ C_6}\)...