Szczególny kwadrat
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11266
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3143 razy
- Pomógł: 747 razy
Szczególny kwadrat
Udowodnić, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n }\) istnieje \(\displaystyle{ m}\) które jest kwadratem liczby całkowitej, i której cyfry (których jest \(\displaystyle{ n}\)) nie maleją. (np. dla \(\displaystyle{ n=3}\), \(\displaystyle{ m=225}\) ) itd.
-
- Użytkownik
- Posty: 465
- Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Szczególny kwadrat
dla \(\displaystyle{ n}\) - parzystych
Kolejne liczby w postaci
35
335
3335
...
333333333....5
dla \(\displaystyle{ n}\) - nieparzystych
Kolejne liczby w postaci
17
167
1667
16667
...
16....67
Teraz tylko udowodnić
Kolejne liczby w postaci
35
335
3335
...
333333333....5
dla \(\displaystyle{ n}\) - nieparzystych
Kolejne liczby w postaci
17
167
1667
16667
...
16....67
Teraz tylko udowodnić
-
- Użytkownik
- Posty: 465
- Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Szczególny kwadrat
Faktycznie
Zapomniałem dodać
dla n - parzystych
Kolejne liczby w postaci
\(\displaystyle{ 35^2}\)
\(\displaystyle{ 335^2}\)
\(\displaystyle{ 3335^2}\)
...
\(\displaystyle{ 333333333....5^2}\)
dla n - nieparzystych
Kolejne liczby w postaci
\(\displaystyle{ 17^2}\)
\(\displaystyle{ 167^2}\)
\(\displaystyle{ 1667^2}\)
\(\displaystyle{ 16667^2}\)
...
\(\displaystyle{ 16....67^2}\)
Dodano po 39 minutach 46 sekundach:
Można to rozpisać jako ciąg kwadratów następujących wyrazów ciągu.
\(\displaystyle{ a_0=2}\)
\(\displaystyle{ a_1=2a_0+1}\)
\(\displaystyle{ a_2=5a_1-8}\)
dla \(\displaystyle{ i}\) parzystych
\(\displaystyle{ a_i=5a_{i-1}-8}\)
dla \(\displaystyle{ i}\) nieparzystych
\(\displaystyle{ a_i=2a_{i-1}+1}\)
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Re: Szczególny kwadrat
W celach heurystycznych skonstruowałem tabelkę przedstawiającą wszystkie kwadraty \(\displaystyle{ \textbf{m}_i}\) o nie malejących cyfrach i zadanej liczbie \(\displaystyle{ n}\) cyfr:
warto też spojrzeć na tabelkę pierwiastków:
tabelka ta sugeruje, że istnieją też inne ciągi dla \(\displaystyle{ n}\) parzystych, typu \(\displaystyle{ 4,34,334,3334,...}\) czy \(\displaystyle{ 5,35,335,3335,...}\). Wzór tego pierwszego to:
Rozważmy zatem:
ten ostatni zapis pozwala zauważyć, że w ciągu \(\displaystyle{ \textbf{m}_{1_{2n}}}\) występują jedynie liczby o cyfrach tworzących ciąg \(\displaystyle{ \mathbf{1}}\) potem przechodzących na \(\displaystyle{ \mathbf{1}+\mathbf{4}=\mathbf{5}}\) i zakończonych na \(\displaystyle{ \mathbf{5}+\mathbf{1}=\mathbf{6}}\). Oczywiście \(\displaystyle{ 1 \le 5 \le 6}\) zatem taki ciąg działa. Dla nieparzystych podobny argument powinien zadziałać trzeba tylko dobrze wybrać ciąg.
Dodano po 5 godzinach 3 minutach 18 sekundach:
Powiększyłem tabelkę. Co ciekawe okazało się, że istnieje tylko jeden \(\displaystyle{ 9}\) cyfrowy kwadrat o cyfrach niemalejących. Widać też kolejny ciąg dla parzystych \(\displaystyle{ n}\) (zaznaczyłem kolorem). Ciekawe dlaczego dla nieparzystych \(\displaystyle{ n}\) wybór jest tak ograniczony a dla parzystych jest całkiem sporo możliwości wyboru.
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{n} & \textbf{2} & \textbf{3} & \textbf{4} & \textbf{5} & \textbf{6} & \textbf{7} \\ \hline
\textbf{m}_1 & 16 & 144 & 1156 & 11236 & 111556 & 2666689 \\ \hline
\textbf{m}_2 & 25 & 169 & 1225 & 11449 & 112225 & 2778889 \\ \hline
\textbf{m}_3 & 36 & 225 & 1369 & 13456 & 113569 & \times \\ \hline
\textbf{m}_4 & 49 & 256 & 1444 & 13689 & 134689 & \times \\ \hline
\textbf{m}_5 & \times & 289 & 4489 & 27889 & 146689 & \times \\ \hline
\textbf{m}_6 & \times & \times & 6889 & 33489 & 344569 & \times \\ \hline
\textbf{m}_7 & \times & \times & \times & \times & 444889 & \times \\ \hline
\end{tabular}}\)
\hline
\textbf{n} & \textbf{2} & \textbf{3} & \textbf{4} & \textbf{5} & \textbf{6} & \textbf{7} \\ \hline
\textbf{m}_1 & 16 & 144 & 1156 & 11236 & 111556 & 2666689 \\ \hline
\textbf{m}_2 & 25 & 169 & 1225 & 11449 & 112225 & 2778889 \\ \hline
\textbf{m}_3 & 36 & 225 & 1369 & 13456 & 113569 & \times \\ \hline
\textbf{m}_4 & 49 & 256 & 1444 & 13689 & 134689 & \times \\ \hline
\textbf{m}_5 & \times & 289 & 4489 & 27889 & 146689 & \times \\ \hline
\textbf{m}_6 & \times & \times & 6889 & 33489 & 344569 & \times \\ \hline
\textbf{m}_7 & \times & \times & \times & \times & 444889 & \times \\ \hline
\end{tabular}}\)
warto też spojrzeć na tabelkę pierwiastków:
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{n} & \textbf{2} & \textbf{3} & \textbf{4} & \textbf{5} & \textbf{6} & \textbf{7} \\ \hline
\sqrt{ \textbf{m}_1} & 4 & 12 & 34 & 106 & 334 & 1633 \\ \hline
\sqrt{ \textbf{m}_2} & 5 & 13 & 35 & 107 & 335 & 1667 \\ \hline
\sqrt{ \textbf{m}_3} & 6 & 15 & 37 & 116 & 337 & \times \\ \hline
\sqrt{ \textbf{m}_4} & 7 & 16 & 38 & 117 & 367 & \times \\ \hline
\sqrt{ \textbf{m}_5} & \times & 17 & 67 & 167 & 383 & \times \\ \hline
\sqrt{ \textbf{m}_6} & \times & \times & 83 & 183 & 587 & \times \\ \hline
\sqrt{ \textbf{m}_7} & \times & \times & \times & \times & 667 & \times \\ \hline
\end{tabular}}\)
\hline
\textbf{n} & \textbf{2} & \textbf{3} & \textbf{4} & \textbf{5} & \textbf{6} & \textbf{7} \\ \hline
\sqrt{ \textbf{m}_1} & 4 & 12 & 34 & 106 & 334 & 1633 \\ \hline
\sqrt{ \textbf{m}_2} & 5 & 13 & 35 & 107 & 335 & 1667 \\ \hline
\sqrt{ \textbf{m}_3} & 6 & 15 & 37 & 116 & 337 & \times \\ \hline
\sqrt{ \textbf{m}_4} & 7 & 16 & 38 & 117 & 367 & \times \\ \hline
\sqrt{ \textbf{m}_5} & \times & 17 & 67 & 167 & 383 & \times \\ \hline
\sqrt{ \textbf{m}_6} & \times & \times & 83 & 183 & 587 & \times \\ \hline
\sqrt{ \textbf{m}_7} & \times & \times & \times & \times & 667 & \times \\ \hline
\end{tabular}}\)
tabelka ta sugeruje, że istnieją też inne ciągi dla \(\displaystyle{ n}\) parzystych, typu \(\displaystyle{ 4,34,334,3334,...}\) czy \(\displaystyle{ 5,35,335,3335,...}\). Wzór tego pierwszego to:
\(\displaystyle{ \sqrt{ \textbf{m}_1}_{2n}= \frac{10^{n}-1}{3}+1 }\)
Rozważmy zatem:
\(\displaystyle{ \sqrt{ \textbf{m}_1}_{2n}^2= \textbf{m}_{1_{2n}}= \left(\frac{10^{n}-1}{3}+1\right)^2 =\mathbf{1} \cdot \frac{10^{2n}-1}{9} +\mathbf{4} \cdot \frac{10^{n}-1}{9}+\mathbf{1} }\)
ten ostatni zapis pozwala zauważyć, że w ciągu \(\displaystyle{ \textbf{m}_{1_{2n}}}\) występują jedynie liczby o cyfrach tworzących ciąg \(\displaystyle{ \mathbf{1}}\) potem przechodzących na \(\displaystyle{ \mathbf{1}+\mathbf{4}=\mathbf{5}}\) i zakończonych na \(\displaystyle{ \mathbf{5}+\mathbf{1}=\mathbf{6}}\). Oczywiście \(\displaystyle{ 1 \le 5 \le 6}\) zatem taki ciąg działa. Dla nieparzystych podobny argument powinien zadziałać trzeba tylko dobrze wybrać ciąg.
Dodano po 5 godzinach 3 minutach 18 sekundach:
Powiększyłem tabelkę. Co ciekawe okazało się, że istnieje tylko jeden \(\displaystyle{ 9}\) cyfrowy kwadrat o cyfrach niemalejących. Widać też kolejny ciąg dla parzystych \(\displaystyle{ n}\) (zaznaczyłem kolorem). Ciekawe dlaczego dla nieparzystych \(\displaystyle{ n}\) wybór jest tak ograniczony a dla parzystych jest całkiem sporo możliwości wyboru.
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{n} & \textbf{2} & \textbf{3} & \textbf{4} & \textbf{5} & \textbf{6} & \textbf{7} & \textbf{8} & \textbf{9} \\ \hline
\sqrt{ \textbf{m}_1} & 4 & 12 & 34 & 106 & 334 & 1633 & 3334 & 16667 \\ \hline
\sqrt{ \textbf{m}_2} & 5 & 13 & 35 & 107 & 335 & 1667 & 3335 & \times \\ \hline
\sqrt{ \textbf{m}_3} & 6 & 15 & 37 & 116 & 337 & \times & 3337 & \times \\ \hline
\sqrt{ \textbf{m}_5} & {\color[RGB]{255,0,255}7} & 16 & 38 & 117 & 367 & \times & 3367 & \times \\ \hline
\sqrt{ \textbf{m}_5} & \times & 17 & {\color[RGB]{255,0,255}67} & 167 & 383 & \times & 3383 & \times \\ \hline
\sqrt{ \textbf{m}_6} & \times & \times & 83 & 183 & 587 & \times & 3667 & \times \\ \hline
\sqrt{ \textbf{m}_7} & \times & \times & \times & \times & {\color[RGB]{255,0,255}667} & \times & 4833 & \times \\ \hline
\sqrt{ \textbf{m}_8} & \times & \times & \times & \times & \times & \times & {\color[RGB]{255,0,255}6667} & \times \\ \hline
\end{tabular}}\)
\hline
\textbf{n} & \textbf{2} & \textbf{3} & \textbf{4} & \textbf{5} & \textbf{6} & \textbf{7} & \textbf{8} & \textbf{9} \\ \hline
\sqrt{ \textbf{m}_1} & 4 & 12 & 34 & 106 & 334 & 1633 & 3334 & 16667 \\ \hline
\sqrt{ \textbf{m}_2} & 5 & 13 & 35 & 107 & 335 & 1667 & 3335 & \times \\ \hline
\sqrt{ \textbf{m}_3} & 6 & 15 & 37 & 116 & 337 & \times & 3337 & \times \\ \hline
\sqrt{ \textbf{m}_5} & {\color[RGB]{255,0,255}7} & 16 & 38 & 117 & 367 & \times & 3367 & \times \\ \hline
\sqrt{ \textbf{m}_5} & \times & 17 & {\color[RGB]{255,0,255}67} & 167 & 383 & \times & 3383 & \times \\ \hline
\sqrt{ \textbf{m}_6} & \times & \times & 83 & 183 & 587 & \times & 3667 & \times \\ \hline
\sqrt{ \textbf{m}_7} & \times & \times & \times & \times & {\color[RGB]{255,0,255}667} & \times & 4833 & \times \\ \hline
\sqrt{ \textbf{m}_8} & \times & \times & \times & \times & \times & \times & {\color[RGB]{255,0,255}6667} & \times \\ \hline
\end{tabular}}\)