Szczególny kwadrat

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Szczególny kwadrat

Post autor: mol_ksiazkowy »

Udowodnić, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n }\) istnieje \(\displaystyle{ m}\) które jest kwadratem liczby całkowitej, i której cyfry (których jest \(\displaystyle{ n}\)) nie maleją. (np. dla \(\displaystyle{ n=3}\), \(\displaystyle{ m=225}\) ) itd.
Brombal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 465
Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Szczególny kwadrat

Post autor: Brombal »

dla \(\displaystyle{ n}\) - parzystych
Kolejne liczby w postaci
35
335
3335
...
333333333....5
dla \(\displaystyle{ n}\) - nieparzystych
Kolejne liczby w postaci
17
167
1667
16667
...
16....67
Teraz tylko udowodnić ;-)
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Szczególny kwadrat

Post autor: Dasio11 »

Ani jedna z napisanych przez Ciebie liczb nie jest kwadratem liczby całkowitej.
Brombal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 465
Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Szczególny kwadrat

Post autor: Brombal »

Dasio11 pisze: 19 wrz 2020, o 17:53 Ani jedna z napisanych przez Ciebie liczb nie jest kwadratem liczby całkowitej.
Faktycznie
Zapomniałem dodać

dla n - parzystych
Kolejne liczby w postaci
\(\displaystyle{ 35^2}\)
\(\displaystyle{ 335^2}\)
\(\displaystyle{ 3335^2}\)
...
\(\displaystyle{ 333333333....5^2}\)
dla n - nieparzystych
Kolejne liczby w postaci
\(\displaystyle{ 17^2}\)
\(\displaystyle{ 167^2}\)
\(\displaystyle{ 1667^2}\)
\(\displaystyle{ 16667^2}\)
...
\(\displaystyle{ 16....67^2}\)

Dodano po 39 minutach 46 sekundach:
Można to rozpisać jako ciąg kwadratów następujących wyrazów ciągu.
\(\displaystyle{ a_0=2}\)
\(\displaystyle{ a_1=2a_0+1}\)
\(\displaystyle{ a_2=5a_1-8}\)
dla \(\displaystyle{ i}\) parzystych
\(\displaystyle{ a_i=5a_{i-1}-8}\)
dla \(\displaystyle{ i}\) nieparzystych
\(\displaystyle{ a_i=2a_{i-1}+1}\)
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Szczególny kwadrat

Post autor: Janusz Tracz »

W celach heurystycznych skonstruowałem tabelkę przedstawiającą wszystkie kwadraty \(\displaystyle{ \textbf{m}_i}\) o nie malejących cyfrach i zadanej liczbie \(\displaystyle{ n}\) cyfr:

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{n} & \textbf{2} & \textbf{3} & \textbf{4} & \textbf{5} & \textbf{6} & \textbf{7} \\ \hline
\textbf{m}_1 & 16 & 144 & 1156 & 11236 & 111556 & 2666689 \\ \hline
\textbf{m}_2 & 25 & 169 & 1225 & 11449 & 112225 & 2778889 \\ \hline
\textbf{m}_3 & 36 & 225 & 1369 & 13456 & 113569 & \times \\ \hline
\textbf{m}_4 & 49 & 256 & 1444 & 13689 & 134689 & \times \\ \hline
\textbf{m}_5 & \times & 289 & 4489 & 27889 & 146689 & \times \\ \hline
\textbf{m}_6 & \times & \times & 6889 & 33489 & 344569 & \times \\ \hline
\textbf{m}_7 & \times & \times & \times & \times & 444889 & \times \\ \hline
\end{tabular}}\)

warto też spojrzeć na tabelkę pierwiastków:

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{n} & \textbf{2} & \textbf{3} & \textbf{4} & \textbf{5} & \textbf{6} & \textbf{7} \\ \hline
\sqrt{ \textbf{m}_1} & 4 & 12 & 34 & 106 & 334 & 1633 \\ \hline
\sqrt{ \textbf{m}_2} & 5 & 13 & 35 & 107 & 335 & 1667 \\ \hline
\sqrt{ \textbf{m}_3} & 6 & 15 & 37 & 116 & 337 & \times \\ \hline
\sqrt{ \textbf{m}_4} & 7 & 16 & 38 & 117 & 367 & \times \\ \hline
\sqrt{ \textbf{m}_5} & \times & 17 & 67 & 167 & 383 & \times \\ \hline
\sqrt{ \textbf{m}_6} & \times & \times & 83 & 183 & 587 & \times \\ \hline
\sqrt{ \textbf{m}_7} & \times & \times & \times & \times & 667 & \times \\ \hline
\end{tabular}}\)

tabelka ta sugeruje, że istnieją też inne ciągi dla \(\displaystyle{ n}\) parzystych, typu \(\displaystyle{ 4,34,334,3334,...}\) czy \(\displaystyle{ 5,35,335,3335,...}\). Wzór tego pierwszego to:

\(\displaystyle{ \sqrt{ \textbf{m}_1}_{2n}= \frac{10^{n}-1}{3}+1 }\)

Rozważmy zatem:

\(\displaystyle{ \sqrt{ \textbf{m}_1}_{2n}^2= \textbf{m}_{1_{2n}}= \left(\frac{10^{n}-1}{3}+1\right)^2 =\mathbf{1} \cdot \frac{10^{2n}-1}{9} +\mathbf{4} \cdot \frac{10^{n}-1}{9}+\mathbf{1} }\)

ten ostatni zapis pozwala zauważyć, że w ciągu \(\displaystyle{ \textbf{m}_{1_{2n}}}\) występują jedynie liczby o cyfrach tworzących ciąg \(\displaystyle{ \mathbf{1}}\) potem przechodzących na \(\displaystyle{ \mathbf{1}+\mathbf{4}=\mathbf{5}}\) i zakończonych na \(\displaystyle{ \mathbf{5}+\mathbf{1}=\mathbf{6}}\). Oczywiście \(\displaystyle{ 1 \le 5 \le 6}\) zatem taki ciąg działa. Dla nieparzystych podobny argument powinien zadziałać trzeba tylko dobrze wybrać ciąg.

Dodano po 5 godzinach 3 minutach 18 sekundach:
Powiększyłem tabelkę. Co ciekawe okazało się, że istnieje tylko jeden \(\displaystyle{ 9}\) cyfrowy kwadrat o cyfrach niemalejących. Widać też kolejny ciąg dla parzystych \(\displaystyle{ n}\) (zaznaczyłem kolorem). Ciekawe dlaczego dla nieparzystych \(\displaystyle{ n}\) wybór jest tak ograniczony a dla parzystych jest całkiem sporo możliwości wyboru.

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{n} & \textbf{2} & \textbf{3} & \textbf{4} & \textbf{5} & \textbf{6} & \textbf{7} & \textbf{8} & \textbf{9} \\ \hline
\sqrt{ \textbf{m}_1} & 4 & 12 & 34 & 106 & 334 & 1633 & 3334 & 16667 \\ \hline
\sqrt{ \textbf{m}_2} & 5 & 13 & 35 & 107 & 335 & 1667 & 3335 & \times \\ \hline
\sqrt{ \textbf{m}_3} & 6 & 15 & 37 & 116 & 337 & \times & 3337 & \times \\ \hline
\sqrt{ \textbf{m}_5} & {\color[RGB]{255,0,255}7} & 16 & 38 & 117 & 367 & \times & 3367 & \times \\ \hline
\sqrt{ \textbf{m}_5} & \times & 17 & {\color[RGB]{255,0,255}67} & 167 & 383 & \times & 3383 & \times \\ \hline
\sqrt{ \textbf{m}_6} & \times & \times & 83 & 183 & 587 & \times & 3667 & \times \\ \hline
\sqrt{ \textbf{m}_7} & \times & \times & \times & \times & {\color[RGB]{255,0,255}667} & \times & 4833 & \times \\ \hline
\sqrt{ \textbf{m}_8} & \times & \times & \times & \times & \times & \times & {\color[RGB]{255,0,255}6667} & \times \\ \hline
\end{tabular}}\)
ODPOWIEDZ