Pseudo - Smarandache

[mol_ksiazkowy]

Pseudo - Smarandache function \(\displaystyle{ Z(n)}\) jest to najmniejsza liczba całkowita dodatnia \(\displaystyle{ m}\) taka, że \(\displaystyle{ n}\) dzieli \(\displaystyle{ \frac{m(m+1)}{2} }\).
Udowodnić, że istnieje nieskończona ilość takich \(\displaystyle{ (m, n)}\), że \(\displaystyle{ mZ(n)= n Z(m)}\) i \(\displaystyle{ m \neq n}\).

Ukryta treść:    

np. \(\displaystyle{ Z(4)=7 }\) itd.

[Premislav]

Niech \(\displaystyle{ m=2p, \ n=2q, \ p,q\in \PP, \ p\neq q, \ p\equiv 3\pmod{4}, \ q\equiv 3\pmod{4}}\).
Mamy wówczas \(\displaystyle{ mZ(n)=2pZ(2q)=2pq=2qp=2qZ(2p)=nZ(m)}\).

Istotnie, jeśli liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\) przystaje do \(\displaystyle{ 3\pmod{4}}\), to \(\displaystyle{ Z(2p)=p}\).
Aby bowiem liczba \(\displaystyle{ \frac{k(k+1)}{2}, \ k\in \NN^{+}}\) była podzielna przez liczbę pierwszą nieparzystą \(\displaystyle{ p\in \PP}\), jedna z liczb \(\displaystyle{ k, \ k+1}\) musi być podzielna przez \(\displaystyle{ p}\). To oznacza natychmiast, że \(\displaystyle{ Z(2p)\ge p-1}\), bo jeśli coś jest podzielne przez \(\displaystyle{ 2p}\), to musi też być podzielne przez \(\displaystyle{ p}\). Pozostaje skonstatować, że \(\displaystyle{ 2p\bigg|\frac{p(p+1)}{2}}\), gdy
\(\displaystyle{ p\equiv 3 \pmod{4}}\) i że w tym samym przypadku jest\(\displaystyle{ 2p\nmid \frac{(p-1)p}{2}}\), stąd \(\displaystyle{ Z(2p)\le p}\) i \(\displaystyle{ Z(2p)>p-1}\), czyli \(\displaystyle{ Z(2p)=p}\).

Pro forma można jeszcze wykazać, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych przystających do \(\displaystyle{ 3}\) modulo \(\displaystyle{ 4}\). Można tu od razu przywalić z twierdzenia Dirichleta (w ciągu \(\displaystyle{ a_{n}=4n+3}\) musi wystąpić nieskończenie wiele wyrazów będących liczbami pierwszymi), aczkolwiek istnieje też dowód elementarny naśladujący dowód Euklidesa na nieskończoność zbioru liczb pierwszych.
Przypuśćmy nie wprost, że liczby \(\displaystyle{ p_{1}, p_{2}\ldots p_{n}}\) są wszystkimi liczbami pierwszymi przystającymi do \(\displaystyle{ 3\pmod{4}}\).
Liczba \(\displaystyle{ q=4\prod_{i=1}^{n}p_{i}-1}\) ma dzielnik pierwszy przystający do \(\displaystyle{ 3\pmod{4}}\) (bo inaczej przystawałaby do \(\displaystyle{ 1}\) modulo \(\displaystyle{ 4}\), co wykluczone) jest względnie pierwsza z liczbami \(\displaystyle{ p_{1}, p_{2}\ldots p_{n}}\), a to jest sprzeczność.

[mol_ksiazkowy]

klasyczne Smarandache \(\displaystyle{ S(n)}\) to najmniejsze \(\displaystyle{ m}\) takie, że \(\displaystyle{ m!}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ n}\).

Rozwiązania będą też inne, gdyż \(\displaystyle{ Z(3p) = p}\) dla liczby pierwszej \(\displaystyle{ p \equiv -1 \pmod{6}.}\)