Jaki ciąg

[mol_ksiazkowy]

Czy istnieje ciąg nieskończony \(\displaystyle{ a_1, a_2, a_3, ...}\) liczb całkowitych dodatnich taki, że
i) żadne \(\displaystyle{ a_j}\) nie dzieli \(\displaystyle{ a_i}\), gdy \(\displaystyle{ i \neq j}\)
ii) dowolne \(\displaystyle{ a_j, a_i}\) nie są względnie pierwsze
iii) nie istnieje \(\displaystyle{ p>1}\), które dzieli wszystkie \(\displaystyle{ a_j}\) dla \(\displaystyle{ j=1, 2, 3, ...}\)
?

[Bran]

Biorąc pod uwagę, że i) i ii) się wykluczają, to mniemam, że to są podpunkty.

i) Tak, ciąg wszystkich liczb pierwszych jest takim ciągiem.
ii) Tak, ciąg wszystkich liczb parzystych dodatnich.
iii) Tak, ciąg wszystkich liczb naturalnych dodatnich.

I czemu mam wrażenie, że nie o to chodziło?

[Dasio11]

Oczywiście chodzi o ciąg mający wszystkie trzy własności jednocześnie. Jeśli uważasz, że nawet dwa pierwsze warunki są sprzeczne, to podaj dowód.

[Jan Kraszewski]

Jeśli uważasz, że nawet dwa pierwsze warunki są sprzeczne, to podaj dowód.

Albo poszukaj prostego ciągu, który spełnia i) i ii) (ale niestety nie spełnia iii)...).

JK

[Brombal]

Ciąg iloczynów liczb pierwszych, którego wyrazy (iloczyny) maja co najmniej jedna liczbę pierwszą (rożną dla rożnych wyrazów) wspólną z każdym innym wyrazem oraz jednocześnie co najmniej jedną (w wyrazie) liczbę pierwszą różna od pozostałych wyrazów.
Np.
\(\displaystyle{ a_{i} =p _{i-1} ! \cdot p _{i}=p _{i} ! }\)

[Bran]

Oczywiście chodzi o ciąg mający wszystkie trzy własności jednocześnie. Jeśli uważasz, że nawet dwa pierwsze warunki są sprzeczne, to podaj dowód.

Prawda, pomyliłem podstawowe rzeczy, mój błąd - przepraszam.

Ciąg iloczynów liczb pierwszych, którego wyrazy (iloczyny) maja co najmniej jedna liczbę pierwszą (rożną dla rożnych wyrazów) wspólną z każdym innym wyrazem oraz jednocześnie co najmniej jedną (w wyrazie) liczbę pierwszą różna od pozostałych wyrazów.
Np.
\(\displaystyle{ a_{i} =p _{i-1} ! \cdot p _{i}=p _{i} ! }\)

Wydaje mi się, że w Twoim ciągu liczba \(\displaystyle{ 2}\) dzieli wszystkie wyrazy tego ciągu, a takiej liczby miało nie być (iii). Oczywiście mogę się mylić.

[Premislav]

To jest całkiem proste, taki ciąg istnieje.
Niech \(\displaystyle{ b_{i}=p_{i+3}, \ i=1,2\ldots}\), gdzie \(\displaystyle{ p_{j}}\) oznacza \(\displaystyle{ j}\)-tą liczbę pierwszą. Niech
\(\displaystyle{ a_{i}=x_{i}b_{i}}\), gdzie
\(\displaystyle{ x_{i}=\begin{cases}2\cdot 3 \text{ gdy }i\equiv 1\pmod{3}\\2\cdot 5\text{ gdy } i\equiv 2\pmod{3}\\3\cdot 5 \text{ gdy }i\equiv 0\pmod{3}\end{cases}}\). Wówczas ciąg \(\displaystyle{ (a_{i})_{i=1}^{+\infty}}\) spełnia warunki zadania.
Istotnie, wyrazy o indeksach dających reszty \(\displaystyle{ 0,1}\) modulo trzy nie są względnie pierwsze, bo dzielą się przez \(\displaystyle{ 3}\), wyrazy o indeksach dających reszty \(\displaystyle{ 0,2}\) modulo trzy nie są względnie pierwsze, bo dzielą się przez \(\displaystyle{ 5}\), a wyrazy o indeksach dających reszty \(\displaystyle{ 1,2}\) modulo trzy nie są względnie pierwsze, bo dzielą się przez \(\displaystyle{ 2}\). Tym bardziej wyrazy o indeksach przystających modulo trzy nie są względni pierwsze. No i reszta warunków też zachodzi, czego nie chce mi się rozpisywać.

[Janusz Tracz]

Ogólnie szukanie takich ciągów można sprowadzić do szukania elementów pewnej nieskończonej macierzy (choć to raczej tabliczka liczb). Myślałem nad zadaniem w ten sposób, że każdy wyraz szukanego ciągu \(\displaystyle{ a_n}\) reprezentowałem w postaci \(\displaystyle{ \prod_{i}^{}p_i^{\nu_{p_i}(a_n)} }\), a to traktowałem jako wektor postaci \(\displaystyle{ \left\langle \nu_{2}(a_n),\nu_{3}(a_n),\nu_{5}(a_n),... \right\rangle }\) tworząc tym samym równoważność pomiędzy szukaniem ciągu \(\displaystyle{ a_n}\) w jawnej postaci, a szukaniem ciągu takich wektorów. Dla ułatwienia założyłem też, że zawsze \(\displaystyle{ \nu_{p_i}(a_n)\in \left\{ 0,1\right\} }\) to znaczy dla każdego \(\displaystyle{ p_i}\) oraz \(\displaystyle{ a_n}\). Wtedy szukamy takiej tabliczki zer i jedynek która:

\(\displaystyle{ (i)}\) żadne \(\displaystyle{ a_j}\) nie dziali \(\displaystyle{ a_i}\) (\(\displaystyle{ j \neq i}\)) \(\displaystyle{ \leftrightsquigarrow}\) to w naszym kontekście oznacza, że dla dowolnych wybranych wierszy \(\displaystyle{ \left\langle \nu_{2}(a_i),\nu_{3}(a_i),\nu_{5}(a_i),... \right\rangle }\) oraz \(\displaystyle{ \left\langle \nu_{2}(a_j),\nu_{3}(a_j),\nu_{5}(a_j),... \right\rangle }\) na jakiejś pozycji indeksowanej liczbą pierwszą wystąpi zero w wierszu \(\displaystyle{ i}\) przy jednoczesnym wystąpieniu jedynki na ten pozycji w wierszu \(\displaystyle{ j}\) i odwrotnie.

\(\displaystyle{ (ii)}\) dowolne \(\displaystyle{ a_i}\) oraz \(\displaystyle{ a_j}\) nie są względnie pierwsze \(\displaystyle{ \leftrightsquigarrow}\) to w naszym kontekście oznacza, że dla dowolnych wybranych wierszy na jakiejś pozycji indeksowanej liczbą pierwszą wystąpią jednocześnie jedynki w wierszu \(\displaystyle{ i}\) oraz \(\displaystyle{ j}\).

\(\displaystyle{ (iii)}\) nie istnieje \(\displaystyle{ p>1}\) dzielące wszystkie \(\displaystyle{ a_i}\) \(\displaystyle{ \leftrightsquigarrow}\) w naszym kontekście oznacza, że tabelka taka nie ma kolumny samych jedynek.

Widać, że tabelka (parafraza pomysłu Premislava):

\(\displaystyle{ a_1\leftrightsquigarrow \left\langle \red{1,1,0},\blue{1,0,0,0,0...}\right\rangle }\)

\(\displaystyle{ a_2\leftrightsquigarrow \left\langle \red{1,0,1},\blue{0,1,0,0,0...}\right\rangle }\)

\(\displaystyle{ a_3\leftrightsquigarrow \left\langle \red{0,1,1},\blue{0,0,1,0,0...}\right\rangle }\)

\(\displaystyle{ a_4\leftrightsquigarrow \left\langle \red{1,1,0},\blue{0,0,0,1,0...}\right\rangle }\)

\(\displaystyle{ a_5\leftrightsquigarrow \left\langle \red{1,0,1},\blue{0,0,0,0,1...}\right\rangle }\)

\(\displaystyle{ \text{itd.}}\)

spełnia wszystkie wymogi w zmienianym kontekście. Zaznaczyłem taż kolorami co jest za co odpowiedzialne. Warunek \(\displaystyle{ (i)}\) jest spełniony ze względy na niebieską część. Wybierając dwa wiersze wybieramy dwie liczby które mają co najmniej jedną liczbę pierwszą różną w swych faktoryzacjach zatem się nie dzielą. Czerwona część odpowiada za warunek \(\displaystyle{ (ii)}\) w taki sposób, że dowolnie wybrane wiersze mają zawsze jakąś wspólną jedynkę, zatem największy wspólny dzielnik liczb odpowiadającym tym wierszą to \(\displaystyle{ 2}\) lub \(\displaystyle{ 3}\) lub \(\displaystyle{ 5}\). Widać też, że w całej tabelce nie ma kolumny samych jedynek więc spełniony jest warunek \(\displaystyle{ (iii)}\).

[Brombal]

A może tak?
\(\displaystyle{ a _{i} = \frac{p _{(i+2)}! }{p _{( \frac{i}{2}- \left[ \frac{i}{2}\right] +1 ) } } }\)
gdzie \(\displaystyle{ p _{i} }\) - i- ta liczba pierwsza

[a4karo]

A może tak?
\(\displaystyle{ a _{i} = \frac{p _{(i+2)}! }{p _{( \frac{i}{2}- \left[ \frac{i}{2}\right] +1 ) } } }\)
gdzie \(\displaystyle{ p _{i} }\) - i- ta liczba pierwsza

Ten wzór nie ma sensu. Ile to jest `a_3? `

[Brombal]

No nie ma sensu myślałem o takim
\(\displaystyle{ { a _{i} = \frac{p _{(i+2)}! }{p _{( 2 \cdot (\frac{i}{2}- \left[ \frac{i}{2}\right])+1 ) } } }}\)
Ale jest do niczego
Albo takim?
\(\displaystyle{ a _{i} = \frac{p _{(i+2)} !}{p _{i} } }\)
\(\displaystyle{ a _{1} =15}\)
\(\displaystyle{ a _{2} =70}\)
\(\displaystyle{ a _{3} =462}\)
\(\displaystyle{ a _{4} =4290}\)
\(\displaystyle{ a _{5} =46410}\)
\(\displaystyle{ a _{6} =746130}\)
...

Dodano po 19 godzinach 49 minutach 38 sekundach:
No teraz to już dam prawidłowy wzór (natchnięty tabelką)

\(\displaystyle{ a _{i} =p _{(i+3)} \frac{p _{3}! }{p _{(3 \cdot ( \frac{i}{3} - \left[ \frac{i}{3}\right] ))} } }\)
Ten nawias kwadratowy to ma być cecha...

Dodano po 4 godzinach 42 minutach 59 sekundach:
No i jak zwykle skopałem
miało być
\(\displaystyle{ a _{i} =p _{(i+3)} \cdot \frac{p _{3}! }{p _{(1+3 \cdot ( \frac{i+3}{3} - \left[ \frac{i+3}{3}\right] ))} } }\)

[a4karo]

Brombal, mam nadzieję, że zdajes sobie sprawę z tego, że `p_3!` to nie jest `2\cdot 3\cdot 5` tylko `5!`

[Brombal]

Brombal, mam nadzieję, że zdajes sobie sprawę z tego, że `p_3!` to nie jest `2\cdot 3\cdot 5` tylko `5!`

Teraz już tak .
To może zastąpię to liczbą 30?
Jak zapisuje się iloczyn kolejnych liczb pierwszych? Musimy dziubać \(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{n} p _{i} }\)?

[a4karo]

Tak, albo możesz sobie zdefiniować jakiś symbol

[Dasio11]

W matematyce akademickiej nie ma specjalnego symbolu, ale w środowiskach konkursowo-dydaktycznych zdefiniowano taką operację - było to chyba przy okazji wrocławskiej KOMY w 2009 roku - mianowicie pierwsznię, \(\displaystyle{ p\#}\) (

Kod: Zaznacz cały

http://static.scholaris.pl/89/20150505_5548aeb2217a5/jak_pracowac_z_uczniem_zdolnym_poradnik_nauczyciela_matematyki_red_m_mikolajczyk.pdf#page=97

).