Podzbiory i ciąg

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Podzbiory i ciąg

Post autor: mol_ksiazkowy »

Niech \(\displaystyle{ M = \{ 1,..., n \} }\) oraz \(\displaystyle{ x_k = \frac{1}{n+1 } \sum_{A \subset M \ , |A|= k} (\min A + \max A) }\) dla \(\displaystyle{ k<n}\). Udowodnić, że liczby \(\displaystyle{ x_1, ..., x_{n-1}}\) są całkowite.
Thingoln
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 133
Rejestracja: 27 lip 2019, o 22:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 52 razy
Pomógł: 15 razy

Re: Podzbiory i ciąg

Post autor: Thingoln »

Czy nie jest potrzebne dodatkowe założenie, że \(\displaystyle{ 2 | n}\)? Jeśli \(\displaystyle{ k = 1}\), to dla jednoelementowego podzbioru zbioru \(\displaystyle{ M}\) zachodzi: \(\displaystyle{ \min A = \max A}\) oraz \(\displaystyle{ x_1 = \frac{1}{n+1} \sum_{i=1}^{n} i = \frac{1}{n+1} \cdot \frac{(1+n)n}{2} = \frac{n}{2} \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow 2|n}\).
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Re: Podzbiory i ciąg

Post autor: mol_ksiazkowy »

max = min czyli bedzie trzeba pomnożyć przez \(\displaystyle{ 2}\), i wynik=\(\displaystyle{ n}\)
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Podzbiory i ciąg

Post autor: Dasio11 »

Dla dowolnego podzbioru \(\displaystyle{ A \subseteq \{ 1, 2, \ldots, n \}}\) oznaczmy przez \(\displaystyle{ A'}\) jego symetryczne odbicie, tzn. \(\displaystyle{ A' = \{ n+1-a : a \in A \}}\). Mamy wtedy:

\(\displaystyle{ \sum_{\substack{A \subseteq M \\ |A| = k}} (\min A + \max A) = \sum_{\substack{A \subseteq M \\ |A| = k}} (\min A + \max A') = \sum_{\substack{A \subseteq M \\ |A| = k}} (n+1)}\)

i ostatnia suma w oczywisty sposób dzieli się przez \(\displaystyle{ n+1}\).
Thingoln
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 133
Rejestracja: 27 lip 2019, o 22:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 52 razy
Pomógł: 15 razy

Re: Podzbiory i ciąg

Post autor: Thingoln »

mol_ksiazkowy pisze: 8 sie 2020, o 16:49 max = min czyli bedzie trzeba pomnożyć przez \(\displaystyle{ 2}\), i wynik=\(\displaystyle{ n}\)
Przepraszam. :oops:
ODPOWIEDZ