Pierwiastek wyrażenia niewymiernego

[mikesz1738]

Witam,

Czy dla każdej liczby niewymiernej \(\displaystyle{ x}\) z przedziału \(\displaystyle{ \left( 0,1\right)}\) wyrażenie \(\displaystyle{ y = \sqrt{1- x^{2} }}\) zawsze jest liczbą niewymierną?

Pierwotnie chciałem na chybił trafił znaleźć liczbę dla której to wyrażenie byłoby wymierne ale nie udało się.

Postanowiłem spróbować założyć, że ta liczba jest zawsze wymierna i...sprawdzić do czego to doprowadzi.

\(\displaystyle{ y = \sqrt{1- x^{2} } = \frac{a}{b}, a,b \in C}\) Zakładam również, że liczby a,b są względnie pierwsze.

Ponieważ \(\displaystyle{ x \in \left(0,1 \right)}\) więc \(\displaystyle{ 1- x^{2} > 0}\) i \(\displaystyle{ |1- x^{2} | = 1- x^{2} }\)

\(\displaystyle{ 1- x^{2} = \frac{a^{2}}{b^{2}}}\)

\(\displaystyle{ x^{2} = 1 - \frac{a^{2}}{b^{2}}}\)

\(\displaystyle{ x^{2} = \frac{b^{2} - a^{2}}{b^{2}}}\)

\(\displaystyle{ b^{2} \cdot x^{2} = b^{2} - a^{2}}\)

Ponieważ prawa strona jest zawsze liczbą całkowitą wyrażenie po lewej również musi być liczbą całkowitą.

Zakładając tutaj z powyższego, że żeby iloczyn po lewej był liczbą całkowitą \(\displaystyle{ b^{2}}\) i \(\displaystyle{ x^{2}}\) muszą być liczbami całkowitymi (a przynajmniej wymiernymi).

Z tego wynika, że dla każdej niewymiernej liczby \(\displaystyle{ x \in \left( 0,1\right)}\) mamy \(\displaystyle{ x^{2} \in W}\)

Łatwo znaleźć liczbę która nie spełnia tego założenia np. \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt[3]{2} }}\) dlatego wnioskuję, że założenie wymierności wyrażenia nie jest prawidłowe i odpowiedź na problem brzmi - każda taka liczba musi być niewymierna

Okazuje się ona jednak błędna. Czy ktoś jest w stanie wskazać błędy w moim rozumowaniu i naprowadzić na rozwiązanie?

Pozdrawiam,

Michał

[Premislav]

Popełniasz błąd logiczny. Zaprzeczenie zdania „dla każdej liczby niewymiernej \(\displaystyle{ x\in(0,1)}\) liczba \(\displaystyle{ \sqrt{1-x^{2}}}\) jest niewymierna" wygląda tak:
istnieje taka liczba niewymierna \(\displaystyle{ x\in (0,1)}\), że liczba \(\displaystyle{ \sqrt{1-x^{2}}}\) jest wymierna.

Co więcej, można łatwo taką wskazać, np. \(\displaystyle{ x=\frac{\sqrt{3}}{2}}\). Mamy bowiem \(\displaystyle{ 1-x^{2}=\frac{1}{4}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}\).

[Thingoln]

W tym przypadku wygodnie jest także zastosować jedynkę trygonometryczną