liczby niewymierne

[olgatiekalo]

dzień dobry
Czy istnieją liczby niewymierne \(\displaystyle{ a, b}\), że
a) liczby \(\displaystyle{ a + b}\) i \(\displaystyle{ a − b}\) są wymierne;
b) liczby \(\displaystyle{ a + b}\) i \(\displaystyle{ ab}\) są wymierne;
c) liczby \(\displaystyle{ a + 3b}\) i \(\displaystyle{ 4a + 12b}\) są wymierne;
d) liczby \(\displaystyle{ a + 3b}\) i \(\displaystyle{ 2a + 4b}\) są wymierne?
poprawne odpowiedzi to b,c
proszę o wytłumaczenie każdego z punktów.
z góry dziękuję!

[Jan Kraszewski]

A jakieś własne próby? To nie są trudne przykłady.

Np. w a) skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ a=\frac{(a+b)+(a-b)}{2}}\) i \(\displaystyle{ b=\frac{(a+b)-(a-b)}{2}}\). W b) poszukaj przykładu w postaci \(\displaystyle{ b=-a}\) itd.

JK

[JHN]

c) liczby \(\displaystyle{ a + 3b}\) i \(\displaystyle{ 4a + 12b}\) są wymierne;

Sprawdź np. \(\displaystyle{ a=-3\pi,\ b=\pi+7}\)

d) liczby \(\displaystyle{ a + 3b}\) i \(\displaystyle{ 2a + 4b}\) są wymierne?

Niech \(\displaystyle{ \begin{cases} a+3b=p\\ 2a+4b=q\end{cases} \wedge p,q\in\mathbb{Q}}\)
wtedy \(\displaystyle{ \begin{cases} 2p-q=2b\notin\mathbb{Q}\\ 2p-q\in\mathbb{Q}\end{cases} }\), czyli sprzeczność

Pozdrawiam

[kerajs]

b)
Np: dla wymiernych x i y:
\(\displaystyle{ a=x+y \sqrt{2} \wedge b=x-y \sqrt{2} }\)

[Niepokonana]

A jakieś własne próby? To nie są trudne przykłady.

Np. w a) skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ a=\frac{(a+b)+(a-b)}{2}}\) i \(\displaystyle{ b=\frac{(a+b)-(a-b)}{2}}\). W b) poszukaj przykładu w postaci \(\displaystyle{ b=-a}\) itd.

JK

Skąd Pan doktor wiedział, że tak to trzeba zrobić? Nie wiem, czy dobrze myślę, ale z tego według mnie wynika, że nie. Chyba źle myślę.
Bo dla \(\displaystyle{ a+b}\) mamy \(\displaystyle{ a=-b+p }\), gdzie \(\displaystyle{ q\in \mathbb Q}\), co jest oczywiście symetryczne, więc \(\displaystyle{ b=-a+p}\) gdzie \(\displaystyle{ p\in \mathbb Q}\). A dla \(\displaystyle{ a-b}\) mamy \(\displaystyle{ a=b+p}\), gdzie \(\displaystyle{ p\in \mathbb Q}\) lub \(\displaystyle{ b=a+p}\) gdzie \(\displaystyle{ p\in \mathbb Q}\).
Czyli
\(\displaystyle{ p\in \mathbb Q}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=-b+p \\ a=b+p \end{cases} \vee \begin{cases} b=-a+p \\ b=a+p \end{cases} }\)
czyli \(\displaystyle{ 2a=p \vee 2b=p}\) czyli \(\displaystyle{ a= \frac{p}{2} \vee b=\frac{p}{2}}\), co jest sprzeczne, bo \(\displaystyle{ \frac{p}{2} \in \mathbb Q }\). Czyli takie liczby \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) nie istnieją, czy coś robię źle? Jak robię bardzo źle, to proszę usunąć mój post.

[Jan Kraszewski]

Skąd Pan doktor wiedział, że tak to trzeba zrobić?

Lata praktyki...

Nie wiem, czy dobrze myślę, ale z tego według mnie wynika, że nie. Chyba źle myślę.

Dobrze myślisz, ale źle uzasadniasz.

Bo dla \(\displaystyle{ a+b}\) mamy \(\displaystyle{ a=-b+p }\), gdzie \(\displaystyle{ q\in \mathbb Q}\), co jest oczywiście symetryczne, więc \(\displaystyle{ b=-a+p}\) gdzie \(\displaystyle{ p\in \mathbb Q}\). A dla \(\displaystyle{ a-b}\) mamy \(\displaystyle{ a=b+p}\), gdzie \(\displaystyle{ p\in \mathbb Q}\) lub \(\displaystyle{ b=a+p}\) gdzie \(\displaystyle{ p\in \mathbb Q}\).
Czyli
\(\displaystyle{ p\in \mathbb Q}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=-b+p \\ a=b+p \end{cases} \vee \begin{cases} b=-a+p \\ b=a+p \end{cases} }\)

Używasz literki \(\displaystyle{ p}\) w dwóch różnych znaczeniach, a tak nie wolno (na początku użyłaś \(\displaystyle{ q}\), ale zapomniałaś o tym).

Ponieważ suma i różnica liczb wymiernych oraz połowa liczby wymiernej są liczbami wymiernymi, więc gdyby liczby \(\displaystyle{ a+b, a-b}\) były wymierne, to wymierne byłyby także liczby \(\displaystyle{ a=\frac{(a+b)+(a-b)}{2}}\) i \(\displaystyle{ b=\frac{(a+b)-(a-b)}{2}}\), co daje sprzeczność z wyjściowym założeniem.

JK

[Niepokonana]

Z tymi literkami się pomyliłam, ale wystarczy w odpowiednich miejscach zamienić \(\displaystyle{ p}\) na \(\displaystyle{ q}\) i będzie dobrze.
A bo Pan doktor po prostu zapisał liczby \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), używając tylko wyrażeń \(\displaystyle{ a+b}\) i \(\displaystyle{ a-b}\).

[Jan Kraszewski]

Z tymi literkami się pomyliłam, ale wystarczy w odpowiednich miejscach zamienić \(\displaystyle{ p}\) na \(\displaystyle{ q}\) i będzie dobrze.

No ale to za mało, musisz jeszcze napisać rozumowanie, bo Twoja dotychczasowa sprzeczność wynikała z błędnych oznaczeń.

JK