Rozwiązałem je w inny sposób niż podany w rozwiązaniu i chciałbym wiedzieć, czy jest dobry.Dane są takie liczby całkowite \(\displaystyle{ A_1, A_2, \dots, A_s, B_1, B_2, \dots, B_s}\), że dla dowolnej liczby naturalnej dodatniej \(\displaystyle{ m}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ \text{card} \{ t : 1 \le t \le s, m | B_t \} \le \text{card} \{ t: 1 \le t \le s, m | A_t \}}\)
Udowodnić, że \(\displaystyle{ B_1 B_2 \dots B_s | A_1 A_2 \dots A_s}\).
Niech \(\displaystyle{ A = \{ A_1, A_2, \dots, A_s \}}\), a \(\displaystyle{ B = \{ B_1, B_2, \dots, B_s \}}\). Niech \(\displaystyle{ X_m}\) będzie podzbiorem \(\displaystyle{ A}\) zawierającym liczby podzielne przez \(\displaystyle{ m}\) (gdzie \(\displaystyle{ m}\) jest liczbą całkowitą dodatnią). Podobnie definiujemy podzbiór \(\displaystyle{ Y_m}\) zbioru \(\displaystyle{ B}\). Zgodnie z założeniem zadania zachodzi nierówność: \(\displaystyle{ |Y_m| \le |X_m|}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ m}\). Zauważmy, że dla dowolnej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p}\) mamy: \(\displaystyle{ v_p(B_1 \cdot B_2 \dots B_s) = \sum_{k=1}^{ \infty } |Y_{p^k}| \le \sum_{k=1}^{ \infty } |X_{p^k}| = v_p(A_1 \cdot A_2 \dots A_s)}\), a więc teza zadania jest spełniona.
