rozkład wielomianu w ciele klas reszt (mod p)

[Sigman]

Mam problem z ćwiczeniem 5.31 z "Algebry i teorii liczb" Neugebauera.
Treść:
Udowodnić, bez korzystania z twierdzenia Wilsona, że dla wielomianu \(\displaystyle{ X^{p-1}-[1]}\) o współczynnikach w ciele \(\displaystyle{ \FF_{p}}\) , gdzie \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą, zachodzi:
\(\displaystyle{ X^{p-1} -[1]=(X-[1])(X-[2])...(X-[p-1]) }\).
Z góry dziękuję za pomoc.

[Dasio11]

Jeśli możesz skorzystać z małego twierdzenia Fermata, to dowód jest łatwy: każdy z elementów \(\displaystyle{ [k] \in \mathbb{F}_p}\), gdzie \(\displaystyle{ 1 \le k \le p-1}\), jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ X^{p-1}-1}\), więc żądana równość wynika z twierdzenia Bezouta.

[Sigman]

Jeszcze raz dziękuję.