Mam problem z ćwiczeniem 5.31 z "Algebry i teorii liczb" Neugebauera.
Treść:
Udowodnić, bez korzystania z twierdzenia Wilsona, że dla wielomianu \(\displaystyle{ X^{p-1}-[1]}\) o współczynnikach w ciele \(\displaystyle{ \FF_{p}}\) , gdzie \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą, zachodzi:
\(\displaystyle{ X^{p-1} -[1]=(X-[1])(X-[2])...(X-[p-1]) }\).
Z góry dziękuję za pomoc.
rozkład wielomianu w ciele klas reszt (mod p)
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10227
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: rozkład wielomianu w ciele klas reszt (mod p)
Jeśli możesz skorzystać z małego twierdzenia Fermata, to dowód jest łatwy: każdy z elementów \(\displaystyle{ [k] \in \mathbb{F}_p}\), gdzie \(\displaystyle{ 1 \le k \le p-1}\), jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ X^{p-1}-1}\), więc żądana równość wynika z twierdzenia Bezouta.