Układ trzech kongurencji

[wesky]

Hej. Nie potrafię zabrać się za taki układ trzech kongruencji

\(\displaystyle{ \begin{cases} 4{x} = 3 (\bmod 5) \\ x = 6 (\bmod 8)\\ 9{x} = 8(\bmod 13) \end{cases}}\)

Jak doprowadzić do postaci z samym \(\displaystyle{ x}\) po lewej stronie równania ?
Wiem , że w sytuacji gdy moduły są względnie pierwsze można zastosować Chińskie twierdzenie o resztach.

Z góry dzięki za pomoc.

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ x \equiv 27 x \equiv 24 (\bmod 13)}\)

[Janusz Tracz]

Z drugiego równania wynika, że \(\displaystyle{ x=6+8n}\) kładąc to do równania pierwszego dostanę, że \(\displaystyle{ 4(6+8n)\equiv 3 \bmod 5}\) co można zapisać równoważenie \(\displaystyle{ 2n \equiv 4 \bmod 5}\), mnożąc stronami przez \(\displaystyle{ 3}\) dostajemy, że \(\displaystyle{ n \equiv 2 \bmod 5}\) zatem \(\displaystyle{ n=2+5k}\) zatem \(\displaystyle{ x=6+8\left( 2+5k\right)= 22+40k}\), wkładam to teraz do trzeciego równania co daje, że \(\displaystyle{ 9\left( 22+40k\right) \equiv 8 \bmod 13}\) a to upraszcza się do \(\displaystyle{ 9k \equiv 5 \bmod 13}\) a to pomnożone przez \(\displaystyle{ 3}\) da nam, że \(\displaystyle{ k \equiv 2 \bmod 13}\) czyli \(\displaystyle{ k=2+13\ell}\) a zatem \(\displaystyle{ x= 22+40\left( 2+13\ell\right) = 102+520\ell }\) dla \(\displaystyle{ \ell\in\NN}\) są rozwiązaniami.