NWW

[klimat]

Niech dla każdej liczby naturalnej n>0 zachodzi \(\displaystyle{ NWW[n, n + 1] > NWW[n, n + 2] >...> NWW[n, n + 35]}\). Wykaż że\(\displaystyle{ NWW[n, n + 35] > NWW[n,n + 36].}\)

[niunix98]

Chyba chodziło Ci o "niech \(\displaystyle{ n}\) będzie taką liczbą naturalną, że..." zamiast "niech dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\)...".

Dodano po 4 godzinach 8 minutach 49 sekundach:
A co do rozwiązania to trzeba skorzystać z faktu, że dla dowolnych liczb naturalnych \(\displaystyle{ a,b}\) zachodzi \(\displaystyle{ NWD(a,b) \cdot NWW(a,b) = ab}\).

Ciąg nierówności \(\displaystyle{ NWW(n,n+1)>NWW(n,n+2)>...>NWW(n,n+35)}\) implikuje więc

\(\displaystyle{ \frac{n(n+1)}{NWD(n,n+1)} > \frac{n(n+2)}{NWD(n,n+2)} > ... > \frac{n(n+35)}{NWD(n,n+35)} }\)

Teraz korzystamy z własności \(\displaystyle{ NWD(a,b) = NWD(a,a-b)}\) oraz dzielimy nierówności stronami przez \(\displaystyle{ n}\) i otrzymujemy

\(\displaystyle{ \frac{n+1}{NWD(n,1)} > \frac{n+2}{NWD(n,2)} > ... > \frac{n+35}{NWD(n,35)}}\)

Obserwacja 1: \(\displaystyle{ 2 \mid n}\)

Przypuśmy \(\displaystyle{ NWD(n,2)=1}\). Wtedy \(\displaystyle{ \frac{n+1}{NWD(n,1)} > \frac{n+2}{NWD(n,2)} \implies n+1>n+2 }\), sprzeczność

Obserwacja 2: \(\displaystyle{ 3 \mid n}\)

Przypuśćmy \(\displaystyle{ NWD(n,3)=1}\). Wtedy \(\displaystyle{ \frac{n+2}{NWD(n,2)} > \frac{n+3}{NWD(n,3)} \implies \frac{n+2}{2} > n+3 \implies n+2 > 2n + 6 \implies n < - 4}\), sprzeczność.

Obserwacja 3: \(\displaystyle{ 4 \mid n}\)

Przypuśćmy \(\displaystyle{ NWD(n,4) = 2}\). Wtedy \(\displaystyle{ \frac{n+3}{NWD(n,3)} > \frac{n+4}{NWD(n,4)} \implies \frac{n+3}{3} > \frac{n+4}{2} \implies 2n+6 > 3n+12 \implies n<-6}\), sprzeczność.

Obserwacja 4: \(\displaystyle{ 5 \mid n}\)

Przypuśćmy \(\displaystyle{ NWD(n,5) = 1}\). Wtedy \(\displaystyle{ \frac{n+4}{NWD(n,4)} > \frac{n+5}{NWD(n,5)} \implies \frac{n+4}{4} > n+5 \implies n+4 > 4n + 20 \implies 3n<-16}\), sprzeczność.

Obserwacja 5: \(\displaystyle{ 7 \mid n}\)

Przypuśćmy \(\displaystyle{ NWD(n,7) = 1}\). Wtedy \(\displaystyle{ \frac{n+6}{NWD(n,6)} > \frac{n+7}{NWD(n,7)} \implies \frac{n+6}{6} > n+7 \implies n+6 > 6n + 42 \implies 5n<-36}\), sprzeczność.

Obserwacja 6: \(\displaystyle{ 8 \mid n}\)

Przypuśćmy \(\displaystyle{ NWD(n,8) = 4}\). Wtedy \(\displaystyle{ \frac{n+7}{NWD(n,7)} > \frac{n+8}{NWD(n,8)} \implies \frac{n+7}{7} > \frac{n+8}{4} \implies 4n+28 > 7n + 56 \implies 3n<-28}\), sprzeczność.

Obserwacja 7: \(\displaystyle{ 9 \mid n}\)

Przypuśćmy \(\displaystyle{ NWD(n,9) = 3}\). Wtedy \(\displaystyle{ \frac{n+8}{NWD(n,8)} > \frac{n+9}{NWD(n,9)} \implies \frac{n+8}{8} > \frac{n+9}{3} \implies 3n+24 > 8n + 72 \implies 5n<-48}\), sprzeczność.

Czyli mamy \(\displaystyle{ 4 \mid n \wedge 9 \mid n \implies 36 \mid n \implies NWD(n,36)=36}\) oraz \(\displaystyle{ 5 \mid n \wedge 7 \mid n \implies 35 \mid n \implies NWD(n,35)=35}\).

W konsekwencji,

\(\displaystyle{ NWW(n,n+35) > NWW(n,n+36) \Leftrightarrow \frac{n(n+35)}{NWD(n,35)} > \frac{n(n+36)}{NWD(n,36)} \Leftrightarrow 36n + 35 \cdot 36 >35n + 35 \cdot 36 \Leftrightarrow n>0}\), co kończy dowód.