Nienaturalna suma

[Bran]

Udowodnij, że dla żadnych \(\displaystyle{ k,n \in \NN_+ }\)liczba \(\displaystyle{ \pm \frac{1}{k} \pm \frac{1}{k+1} \pm \ldots \pm \frac{1}{k+n}}\) nie jest całkowita.

[a4karo]

Jeżeli `n<k`, to suma jest mniejsza od `1`. Jeżeli jest odwrotnie, to między `{k+n}/2` a `k+n` jest liczba pierwsza `p`. Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika wszystkie składniki w liczniku będą podzielne przez `p` za wyjątkiem jednego, więc licznik nie jest podzielny przez `p` a mianownik jest.

[Bran]

JPo sprowadzeniu do wspólnego mianownika wszystkie składniki w liczniku będą podzielne przez `p` za wyjątkiem jednego

Nie rozumiem dlaczego tak jest.

[a4karo]

Wśród liczb `k,k+1,...,k+n` jest tylko jedna podzielna przez `p` - właśnie `p` (bo następna - `2p`, już jest większa niż `k+n`)

Każdy składnik licznika jest iloczynem `n` liczb (w pierwszym pomijasz `k`, w drugim `k+1` etc.). Wszystkie składniki będą podzielne przez `p` za wyjątkiem tego, w którym to `p` pominąłeś.

[Bran]

Dziękuję!

Jeżeli jest odwrotnie, to między `{k+n}/2` a `k+n` jest liczba pierwsza `p`.

A jeszcze się upewnię, powyższy fakt wynika z postulatu Bertranda, tak?

[a4karo]

Tak właśnie

[Gosda]

Nie jestem pewien, czy dobrze rozumiem znam \(\pm\) tutaj, ale to jest chyba Theorem 2 z

Kod: Zaznacz cały

https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/gradnumthy/padicharmonicsum.pdf

.

[a4karo]

\(H_n-H_m\not\in\ZZ\) to dużo słabsze.

[Gosda]

Czyli \(\pm\) tutaj znaczy, że każdy składnik sumy może być z plusem lub minusem? Bo jeśli ma standardowe znaczenie (albo wszędzie plus, albo wszędzie minus), to to jest dokładnie \(H_n - H_m \not \in \Z\).

[a4karo]

Znaki możesz dobrać losowo

[Gosda]

Przeczytałem raz jeszcze dowód Theorem dwa i moim zdaniem jest prawdziwy nawet w ogólniejszym przypadku (losowych znaków): pokazują tam, że w tylko jednym składniku mianownik dzieli się przez najwyższą potęgę dwójki.