podaj wszystkie liczby...
: 14 paź 2007, o 21:46
pierwsze p, dla ktorych istnieje liczba naturalna n taka, ze \(\displaystyle{ p+1=n^{5}}\)
Skoro lewa strona jest zawsze dodatnia, to n musi być liczbą całkowitą dodatnią. Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę dla piątych potęg:
\(\displaystyle{ p=n^5-1 \\ p=(n-1)(n^4+n^3+n^2+n+1)}\)
Jak widzimy drugi nawias jest zawsze większy lub równy 1, dlatego, żeby prawa strona była liczbą pierwszą, to n-1=1, czyli n=2.
\(\displaystyle{ p=2^5-1=31}\)
To jest jedyna liczba spełniająca warunki tego zadania.