Podzielność sumy przez sumę

[Bran]

Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) i dla każdej liczby naturalnej nieparzystej \(\displaystyle{ k}\) zachodzi wzór:

\(\displaystyle{ 1+2+\ldots+n \mid 1^k + 2^k + \ldots + n^k}\)

Bardzo proszę o jakąś wskazówkę.

[niunix98]

Spróbuj sumować "tam i z powrotem". Na przykład:
\(\displaystyle{ S = 1^k + 2^k + ... + n^k \\ S = n^k + (n-1)^k + ... + 1^k}\)
Teraz jak sobie dodamy stronami to wychodzi:
\(\displaystyle{ 2S = ( 1^k + n^k ) + (2^k + (n-1)^k ) + ... + (n^k + 1^k)}\)
I teraz trzeba skorzystać z faktu, że jeżeli liczba \(\displaystyle{ l}\) jest nieparzysta to zachodzi podzielność \(\displaystyle{ a+b \mid a^l + b^l}\).

[Bran]

Mógłbym prosić o dowód ostatniej własności?

[niunix98]

Jest to po prostu wzór skróconego mnożenia: \(\displaystyle{ a^l + b^l = (a+b)(a^{l-1} - a^{l-2}b + a^{l-3}b^2 - ... + b^{l-1})}\) (dla \(\displaystyle{ l}\) nieparzystego).

Dodano po 52 minutach 29 sekundach:
Wrzucę jeszcze parę wskazówek do czytania po kolei (we wskazówkach przez \(\displaystyle{ S}\) rozumiem sumę \(\displaystyle{ 1^k + 2^k + ... + n^k}\))

Wskazówka 1:    

Metodą sumowania "tam i z powrotem" oblicz wartość \(\displaystyle{ 1+2+3+...+n}\).

Wskazówka 2:    

\(\displaystyle{ 1+2+3+...+n = \frac{n(n+1)}{2}}\)

Wskazówka 3:    

Zauważ, że liczby \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ n+1}\) są względnie pierwsze. Wystarczy więc, że udowodnimy, że \(\displaystyle{ n \mid 2S}\) oraz \(\displaystyle{ n+1 \mid 2S}\).

Wskazówka 4:    

Własnosć \(\displaystyle{ n+1 \mid 2S}\) udowodniliśmy już wcześniej.

Wskazówka 5:    

Aby udowodnić \(\displaystyle{ n \mid 2S}\), dobierz elementy sumy w odpowiednie pary.