Ciąg liczb
Ciąg liczb
Czy liczb naturalnych posiadających dokładnie trzy dzielniki naturalne jest nieskończenie wiele?
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4076
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Ciąg liczb
Tak. Każda liczba pierwsza podniesiona do kwadratu ma dokładnie \(\displaystyle{ 3}\) dzielniki naturalne, liczba pierwszych jest nieskończenie wiele.
- Gosda
- Użytkownik
- Posty: 340
- Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Oulu
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 60 razy
Re: Ciąg liczb
Co więcej, między liczbami o trzech dzielnikach oraz kwadratami liczb pierwszych istnieje bijekcja. Wynika to z tego, że jeśli w rozkładzie \(n\) na czynniki pierwsze pojawiają się liczby pierwsze \(p_1, \ldots, p_m\), przy czym \(p_k\) pojawia się dokładnie \(a_k\) razy, to liczba \(n\) ma
\((1 + a_1) \cdot (1 + a_2) \cdot \ldots \cdot (1 + a_m)\)
dzielników. Żeby dostać trzy dzielniki, musimy mieć \(m = 1, a_1 = 2\), czyli właśnie \(n = p^2\) dla pewnego pierwszego \(p\).
\((1 + a_1) \cdot (1 + a_2) \cdot \ldots \cdot (1 + a_m)\)
dzielników. Żeby dostać trzy dzielniki, musimy mieć \(m = 1, a_1 = 2\), czyli właśnie \(n = p^2\) dla pewnego pierwszego \(p\).
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4076
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Ciąg liczb
Istnienie bijekcji pomiędzy nieskończonym podzbiorem liczb naturalnych a innym nieskończonym podzbiorem liczb naturalnych nie jest zaskakujące. Istotne jest to, że omawianą własność (\(\displaystyle{ 3}\) dzielniki) mają jedynie kwadraty liczb pierwszych. Są to te same zbiory tylko zadane innym (z pozoru) warunkiem.
- Gosda
- Użytkownik
- Posty: 340
- Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Oulu
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 60 razy
Re: Ciąg liczb
Hmh, tak, właśnie to miałem na myśli, tylko trochę źle ubrałem w słowa. Przepraszam. Chodziło mi oczywiście o to, że żadna inna liczba (niebędąca kwadratem pierwszej) nie ma tej własności: posiadania trzech dzielników.