Ciąg liczb

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
login1977
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 95
Rejestracja: 27 paź 2017, o 17:49
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 1 raz

Ciąg liczb

Post autor: login1977 » 23 maja 2020, o 16:06

Czy liczb naturalnych posiadających dokładnie trzy dzielniki naturalne jest nieskończenie wiele?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2765
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 897 razy

Re: Ciąg liczb

Post autor: Janusz Tracz » 23 maja 2020, o 16:15

Tak. Każda liczba pierwsza podniesiona do kwadratu ma dokładnie \(\displaystyle{ 3}\) dzielniki naturalne, liczba pierwszych jest nieskończenie wiele.

Awatar użytkownika
Gosda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 315
Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Oulu
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 56 razy

Re: Ciąg liczb

Post autor: Gosda » 23 maja 2020, o 19:59

Co więcej, między liczbami o trzech dzielnikach oraz kwadratami liczb pierwszych istnieje bijekcja. Wynika to z tego, że jeśli w rozkładzie \(n\) na czynniki pierwsze pojawiają się liczby pierwsze \(p_1, \ldots, p_m\), przy czym \(p_k\) pojawia się dokładnie \(a_k\) razy, to liczba \(n\) ma

\((1 + a_1) \cdot (1 + a_2) \cdot \ldots \cdot (1 + a_m)\)

dzielników. Żeby dostać trzy dzielniki, musimy mieć \(m = 1, a_1 = 2\), czyli właśnie \(n = p^2\) dla pewnego pierwszego \(p\).

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2765
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 897 razy

Re: Ciąg liczb

Post autor: Janusz Tracz » 23 maja 2020, o 20:21

Gosda pisze:
23 maja 2020, o 19:59
Co więcej, między liczbami o trzech dzielnikach oraz kwadratami liczb pierwszych istnieje bijekcja. Wynika to z tego, że ...
Istnienie bijekcji pomiędzy nieskończonym podzbiorem liczb naturalnych a innym nieskończonym podzbiorem liczb naturalnych nie jest zaskakujące. Istotne jest to, że omawianą własność (\(\displaystyle{ 3}\) dzielniki) mają jedynie kwadraty liczb pierwszych. Są to te same zbiory tylko zadane innym (z pozoru) warunkiem.

Awatar użytkownika
Gosda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 315
Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Oulu
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 56 razy

Re: Ciąg liczb

Post autor: Gosda » 23 maja 2020, o 22:35

Hmh, tak, właśnie to miałem na myśli, tylko trochę źle ubrałem w słowa. Przepraszam. Chodziło mi oczywiście o to, że żadna inna liczba (niebędąca kwadratem pierwszej) nie ma tej własności: posiadania trzech dzielników.

ODPOWIEDZ