równanie z NWW i NWD

[mol_ksiazkowy]

Dla jakich \(\displaystyle{ n}\) równanie ma rozwiązanie: \(\displaystyle{ \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{n}{NWW(a,b)}= \frac{1}{NWD(a,b)}}\) ?

[a4karo]

Jeżeli trójka `(a,b,n)` spełnia równanie, to trójka `(a/{NWD(a,b)},b/{NWD(a,b)},n)` też je spełnia, więc możemy założyć, że `NWD(a,b)=1`

Wtedy nasz równanie przybiera postać
`1/a+1/b+n/{ab}=1`.

Tożsamość
`1/a+1/b+{(a-1)(b-1)-1}/{ab}=1` pokazuje, że `n` musi być postaci `n=(a-1)(b-1)-1`, gdzie `(a,b)=1`.

Dodano po 15 minutach 18 sekundach:
Weźmy `n=15`. Mamy `15=2\cdot 8-1=4\cdot 4-1`, co odpowiada parom `(a,b)=(3,9)` oraz `(a,b)=(5,5)` i żadna z nich nie spełnia warunki względnej pierwszości. Liczna `15` zatem nie da się przedstawić w szukanej postaci, więc nie istnieje trójka `(a,b,15)` spełniająca równanie.

[arek1357]

A trójka:

\(\displaystyle{ (a,b,n)=(2,3,1)}\)

spełnia czy nie spełnia równania?

[a4karo]

Spelnia. Przecież `1=(2-1)(3-1)-1`