Podzielność iloczynu składników sumy
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Re: Podzielność iloczynu składników sumy
Trójki pitagorejskie spełniają:
\(\displaystyle{ a=m^2-n^2 \\
b=2mn\\
c=m^2+n^2}\)
dla \(\displaystyle{ m,n \in N_+ \wedge m>n}\)
Teraz będzie łatwiej?
\(\displaystyle{ a=m^2-n^2 \\
b=2mn\\
c=m^2+n^2}\)
dla \(\displaystyle{ m,n \in N_+ \wedge m>n}\)
Teraz będzie łatwiej?
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Podzielność iloczynu składników sumy
Niezupełnie, to tylko pierwotne trójki pitagorejskie. Na przykład nie otrzymasz w ten sposób trójki \(\displaystyle{ (9,12,15)}\), bo suma dwóch kwadratów nie daje nigdy reszty \(\displaystyle{ 3}\) modulo cztery. Ale już wszystkie pierwotne trójki pitagorejskie owszem, otrzymasz w tej formie, więc wystarczy to poprawić do \(\displaystyle{ a=r\left(m^{2}-n^{2}\right), \ b=2rmn, \ c=r\left(m^{2}+n^{2}\right)}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 421
- Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 163 razy
- Pomógł: 16 razy
Re: Podzielność iloczynu składników sumy
Po przemnożeniu składników otrzymujemy \(\displaystyle{ 2mn(m^4-n^4)}\)
Zauważmy, że jeżeli \(\displaystyle{ a \equiv r \left( \mbox{mod } k\right)}\), to \(\displaystyle{ a^4 \equiv r^4 \left( \mbox{mod } k\right),}\) zatem:
\(\displaystyle{ 1^4 \mbox{ mod } 3 = 1}\)
\(\displaystyle{ 2^4 \mbox{ mod } 3 = 1}\)
\(\displaystyle{ 1^4 \mbox{ mod } 5 = 1}\)
\(\displaystyle{ 2^4 \mbox{ mod } 5 = 1}\)
\(\displaystyle{ 3^4 \mbox{ mod } 5 = 1}\)
\(\displaystyle{ 4^4 \mbox{ mod } 5 = 1}\)
Gdy reszta \(\displaystyle{ m}\) lub \(\displaystyle{ n}\) jest zerowa, przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 3}\), to \(\displaystyle{ 2mn}\) zapewnia podzielność przez \(\displaystyle{ 3}\), a jeżeli reszty są różne od zera, to w każdym wypadku reszty są takie same i się odejmą w czynniku \(\displaystyle{ (m^4-n^4)}\)
Analogicznie z podzielnością przez \(\displaystyle{ 5}\), podzielność przez \(\displaystyle{ 4}\) jest oczywista
Zauważmy, że jeżeli \(\displaystyle{ a \equiv r \left( \mbox{mod } k\right)}\), to \(\displaystyle{ a^4 \equiv r^4 \left( \mbox{mod } k\right),}\) zatem:
\(\displaystyle{ 1^4 \mbox{ mod } 3 = 1}\)
\(\displaystyle{ 2^4 \mbox{ mod } 3 = 1}\)
\(\displaystyle{ 1^4 \mbox{ mod } 5 = 1}\)
\(\displaystyle{ 2^4 \mbox{ mod } 5 = 1}\)
\(\displaystyle{ 3^4 \mbox{ mod } 5 = 1}\)
\(\displaystyle{ 4^4 \mbox{ mod } 5 = 1}\)
Gdy reszta \(\displaystyle{ m}\) lub \(\displaystyle{ n}\) jest zerowa, przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 3}\), to \(\displaystyle{ 2mn}\) zapewnia podzielność przez \(\displaystyle{ 3}\), a jeżeli reszty są różne od zera, to w każdym wypadku reszty są takie same i się odejmą w czynniku \(\displaystyle{ (m^4-n^4)}\)
Analogicznie z podzielnością przez \(\displaystyle{ 5}\), podzielność przez \(\displaystyle{ 4}\) jest oczywista
- niunix98
- Użytkownik
- Posty: 96
- Rejestracja: 19 lis 2017, o 20:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 17 razy
Re: Podzielność iloczynu składników sumy
Dowód tej własności napisałem kiedyś w krótkim
Kod: Zaznacz cały
https://www.scribd.com/document/458983484/Trojki-Pitagorejskie