Podzielność iloczynu składników sumy

[Bran]

Niech \(\displaystyle{ a,b,c \in \ZZ}\) i \(\displaystyle{ a^2 + b^2 = c^2.}\) Sprawdź, że \(\displaystyle{ 60|abc.}\)

[kerajs]

Trójki pitagorejskie spełniają:
\(\displaystyle{ a=m^2-n^2 \\
b=2mn\\
c=m^2+n^2}\)
dla \(\displaystyle{ m,n \in N_+ \wedge m>n}\)
Teraz będzie łatwiej?

[Premislav]

Trójki pitagorejskie spełniają:
\(\displaystyle{ a=m^2-n^2 \\
b=2mn\\
c=m^2+n^2}\)
dla \(\displaystyle{ m,n \in N_+ \wedge m>n}\)
Teraz będzie łatwiej?

Niezupełnie, to tylko pierwotne trójki pitagorejskie. Na przykład nie otrzymasz w ten sposób trójki \(\displaystyle{ (9,12,15)}\), bo suma dwóch kwadratów nie daje nigdy reszty \(\displaystyle{ 3}\) modulo cztery. Ale już wszystkie pierwotne trójki pitagorejskie owszem, otrzymasz w tej formie, więc wystarczy to poprawić do \(\displaystyle{ a=r\left(m^{2}-n^{2}\right), \ b=2rmn, \ c=r\left(m^{2}+n^{2}\right)}\)

[a4karo]

Nie trzeba, wystarczy pokazać,tezę dla trójki pierwotnej z dość banalnego powodu.

[Bran]

Po przemnożeniu składników otrzymujemy \(\displaystyle{ 2mn(m^4-n^4)}\)

Zauważmy, że jeżeli \(\displaystyle{ a \equiv r \left( \mbox{mod } k\right)}\), to \(\displaystyle{ a^4 \equiv r^4 \left( \mbox{mod } k\right),}\) zatem:
\(\displaystyle{ 1^4 \mbox{ mod } 3 = 1}\)
\(\displaystyle{ 2^4 \mbox{ mod } 3 = 1}\)

\(\displaystyle{ 1^4 \mbox{ mod } 5 = 1}\)
\(\displaystyle{ 2^4 \mbox{ mod } 5 = 1}\)
\(\displaystyle{ 3^4 \mbox{ mod } 5 = 1}\)
\(\displaystyle{ 4^4 \mbox{ mod } 5 = 1}\)

Gdy reszta \(\displaystyle{ m}\) lub \(\displaystyle{ n}\) jest zerowa, przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 3}\), to \(\displaystyle{ 2mn}\) zapewnia podzielność przez \(\displaystyle{ 3}\), a jeżeli reszty są różne od zera, to w każdym wypadku reszty są takie same i się odejmą w czynniku \(\displaystyle{ (m^4-n^4)}\)

Analogicznie z podzielnością przez \(\displaystyle{ 5}\), podzielność przez \(\displaystyle{ 4}\) jest oczywista

[niunix98]

Trójki pitagorejskie spełniają:
\(\displaystyle{ a=m^2-n^2 \\
b=2mn\\
c=m^2+n^2}\)
dla \(\displaystyle{ m,n \in N_+ \wedge m>n}\)

Dowód tej własności napisałem kiedyś w krótkim

Kod: Zaznacz cały

https://www.scribd.com/document/458983484/Trojki-Pitagorejskie

o trójkach pitagorejskich. Zachęcam do zmierzenia się z zadaniami