Równania kongruencji

[Pogryziony]

Witajcie,
Mam ogromny problem z rozwiązaniem układów kongruencji. Niestety mam to na szybko do zrobienia, więc byłbym bardzo wdzięczny, gdyby ktoś dał radę, pomóc chociaż z częścią zadań.

Znajdź rozwiązanie układu kongruencji:
1)
\(\displaystyle{ \begin{cases}x ≡ 5 \pmod{31}\\ x ≡ 5 \pmod{42}
\end{cases} }\)
2)
\(\displaystyle{ \begin{cases}x ≡ 3 \pmod{20}\\x ≡ 5 \pmod{3}
\end{cases} }\)
3)
\(\displaystyle{ \begin{cases}x ≡ 1 \pmod{11}\\x ≡ 1 \pmod{6}
\end{cases} }\)
4)
\(\displaystyle{ \begin{cases}x ≡ 5 \pmod{31}\\x ≡ 9 \pmod{9}
\end{cases} }\)
5)
\(\displaystyle{ \begin{cases}x ≡ 2 \pmod{37}\\x ≡ 3 \pmod{10}
\end{cases} }\)
6)
\(\displaystyle{ \begin{cases}x ≡ 3 \pmod{31}\\x ≡ 0 \pmod{3}
\end{cases} }\)
7)
\(\displaystyle{ \begin{cases}x ≡ 7 \pmod{22}\\x ≡ 5 \pmod{29}
\end{cases} }\)

Bardzo proszę o pomoc

[kerajs]

Niestety mam to na szybko do zrobienia, więc byłbym bardzo wdzięczny, gdyby ktoś dał radę, pomóc chociaż z częścią zadań.

Spoko, kilka zgadnę:


1)
\(\displaystyle{ \begin{cases}x ≡ 5 \pmod{31}\\ x ≡ 5 \pmod{42}
\end{cases} \\
x=31 \cdot 42 \cdot k+5}\)

3)
\(\displaystyle{ \begin{cases}x ≡ 1 \pmod{11}\\x ≡ 1 \pmod{6}
\end{cases} \\
x=11 \cdot 6 \cdot k+1}\)

6)
\(\displaystyle{ \begin{cases}x ≡ 3 \pmod{31}\\x ≡ 0 \pmod{3}
\end{cases}\\
x=31 \cdot 3 \cdot k+3
}\)

[JHN]

2)
\(\displaystyle{ \begin{cases}x ≡ 3 \pmod{20}\\x ≡ 5 \pmod{3}
\end{cases} }\)

Bardzo elementarnie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=20n+3\\ x=3m+5\end{cases} \wedge n,m\in\ZZ\\
20n+3=3m+5\\
m=6n+\frac{2n-2}{3}}\)
"dobrze się liczy" dla \(\displaystyle{ n=1,4,7,\cdots, 3k+1}\)
\(\displaystyle{ x=20\cdot(3k+1)+3=60k+23}\)

Pozostałe - analogicznie

Pozdrawiam