Sześcian liczby naturalnej

[41421356]

Wyznaczyć wszystkie wartości \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\), dla których wyrażenie \(\displaystyle{ 3n(n+1)+7}\) jest sześcianem liczby naturalnej.

[Tmkk]

Wskazówka.

Liczba \(\displaystyle{ 3n(n+1)+7}\) daje resztę \(\displaystyle{ 1}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 3}\). Zatem jeśli \(\displaystyle{ 3n(n+1)+7 = a^3}\), to jakiej postaci jest \(\displaystyle{ a}\)?

[41421356]

Tą resztę z dzielenia przez trzy rozumiem, ale nie bardzo rozumiem dalszej części wskazówki.

[Premislav]

Zauważ, że \(\displaystyle{ a^{3}\equiv a\pmod{3}}\), to pomoże odpowiedzieć na pytanie ze wskazówki.

[41421356]

To, że iloczyn trzech kolejnych liczb jest podzielny przez trzy to wiem, ale jak ma to pomóc w zadaniu? Nie widzę zupełnie tego.

[Tmkk]

Zbierając to wszystko, jaką resztę daje \(\displaystyle{ a}\) w dzieleniu przez \(\displaystyle{ 3}\)?

[41421356]

Też jeden?

[Tmkk]

Tak (upewnij się, że wiesz, a nie zgadujesz). Więc jest postaci \(\displaystyle{ a = 3m+1}\) dla pewnego \(\displaystyle{ m \in \mathbb{N}}\). Wstaw sobie i pomysł dalej.

[41421356]

Wydaję mi się, że wiem. Podstawiając i przekształcając dochodzę do takiej zależności:

\(\displaystyle{ n(n+1)+2=9m^3+9m^2+3m}\)

ewentualnie

\(\displaystyle{ (n-3m)(n+3m+1)+2=9m^3}\)

I co dalej?

[Tmkk]

Pierwsza równość jest przyjemniejsza do badania wg mnie. Zbadaj lewą i prawą stronę ze względu na reszty z dzielenia przez jakąś liczbę.

[41421356]

Domyślam się, że chodzi o trójkę. Tak więc prawa strona dzieli się przez trzy, więc dla lewej strony musi zachodzić:

\(\displaystyle{ n(n+1)\equiv 1 \pmod{3}}\)

I końca nie widać...

[Tmkk]

Widać, bo to już jest koniec.

Czy potrafisz wskazać liczbę naturalną, która by spełniała tę równość?

[41421356]

Nie potrafię, ale to nie jest jeszcze dowodem na to, że takowej nie na

[Tmkk]

Zgadza się, nie jest, ale możesz spróbować ten dowód przeprowadzić...

[41421356]

Jak sobie rozpiszę kilka przykładowych liczb i ich iloczyny to widać, że może zachodzić jeden z dwóch przypadków:

\(\displaystyle{ \displaystyle{ n(n+1)\equiv 0 \pmod{3}}}\)

lub

\(\displaystyle{ \displaystyle{ n(n+1)\equiv 2 \pmod{3}}}\)

Ale jak to udowodnić to nie mam zielonego pojęcia.