Sześcian liczby naturalnej
-
- Użytkownik
- Posty: 541
- Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 497 razy
- Pomógł: 5 razy
Sześcian liczby naturalnej
Wyznaczyć wszystkie wartości \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\), dla których wyrażenie \(\displaystyle{ 3n(n+1)+7}\) jest sześcianem liczby naturalnej.
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Sześcian liczby naturalnej
Wskazówka.
Liczba \(\displaystyle{ 3n(n+1)+7}\) daje resztę \(\displaystyle{ 1}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 3}\). Zatem jeśli \(\displaystyle{ 3n(n+1)+7 = a^3}\), to jakiej postaci jest \(\displaystyle{ a}\)?
Liczba \(\displaystyle{ 3n(n+1)+7}\) daje resztę \(\displaystyle{ 1}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 3}\). Zatem jeśli \(\displaystyle{ 3n(n+1)+7 = a^3}\), to jakiej postaci jest \(\displaystyle{ a}\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 541
- Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 497 razy
- Pomógł: 5 razy
Re: Sześcian liczby naturalnej
To, że iloczyn trzech kolejnych liczb jest podzielny przez trzy to wiem, ale jak ma to pomóc w zadaniu? Nie widzę zupełnie tego.
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Sześcian liczby naturalnej
Tak (upewnij się, że wiesz, a nie zgadujesz). Więc jest postaci \(\displaystyle{ a = 3m+1}\) dla pewnego \(\displaystyle{ m \in \mathbb{N}}\). Wstaw sobie i pomysł dalej.
-
- Użytkownik
- Posty: 541
- Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 497 razy
- Pomógł: 5 razy
Re: Sześcian liczby naturalnej
Wydaję mi się, że wiem. Podstawiając i przekształcając dochodzę do takiej zależności:
\(\displaystyle{ n(n+1)+2=9m^3+9m^2+3m}\)
ewentualnie
\(\displaystyle{ (n-3m)(n+3m+1)+2=9m^3}\)
I co dalej?
\(\displaystyle{ n(n+1)+2=9m^3+9m^2+3m}\)
ewentualnie
\(\displaystyle{ (n-3m)(n+3m+1)+2=9m^3}\)
I co dalej?
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Sześcian liczby naturalnej
Pierwsza równość jest przyjemniejsza do badania wg mnie. Zbadaj lewą i prawą stronę ze względu na reszty z dzielenia przez jakąś liczbę.
-
- Użytkownik
- Posty: 541
- Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 497 razy
- Pomógł: 5 razy
Re: Sześcian liczby naturalnej
Domyślam się, że chodzi o trójkę. Tak więc prawa strona dzieli się przez trzy, więc dla lewej strony musi zachodzić:
\(\displaystyle{ n(n+1)\equiv 1 \pmod{3}}\)
I końca nie widać...
\(\displaystyle{ n(n+1)\equiv 1 \pmod{3}}\)
I końca nie widać...
-
- Użytkownik
- Posty: 541
- Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 497 razy
- Pomógł: 5 razy
Re: Sześcian liczby naturalnej
Jak sobie rozpiszę kilka przykładowych liczb i ich iloczyny to widać, że może zachodzić jeden z dwóch przypadków:
\(\displaystyle{ \displaystyle{ n(n+1)\equiv 0 \pmod{3}}}\)
lub
\(\displaystyle{ \displaystyle{ n(n+1)\equiv 2 \pmod{3}}}\)
Ale jak to udowodnić to nie mam zielonego pojęcia.
\(\displaystyle{ \displaystyle{ n(n+1)\equiv 0 \pmod{3}}}\)
lub
\(\displaystyle{ \displaystyle{ n(n+1)\equiv 2 \pmod{3}}}\)
Ale jak to udowodnić to nie mam zielonego pojęcia.