Ukryta treść:
Suma dla trójki
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11413
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Suma dla trójki
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ x, y, z }\) jest trójką pitagorejską, to \(\displaystyle{ z^2+ \frac{2}{3}xy }\) jest liczbą złożoną
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Suma dla trójki
Połóżmy (bez straty ogólności) \(\displaystyle{ x=r\left(m^{2}-n^{2}\right), \ y=2rmn, \ z=r\left(m^{2}+n^{2}\right)}\)
i dostajemy
\(\displaystyle{ z^{2}+\frac{2}{3}xy=r^{2}\left(\left(m^{2}+n^{2}\right)^{2}+\frac{4}{3}mn\left(m^{2}-n^{2}\right)\right)}\)
Pozostaje zauważyć, że
\(\displaystyle{ \left(\left(m^{2}+n^{2}\right)^{2}+\frac{4}{3}mn\left(m^{2}-n^{2}\right)\right)=\frac{1}{3}\left(3m^{2}-2mn+n^{2}\right)\left(m^{2}+2mn+3n^{2}\right)}\)
i o ile \(\displaystyle{ m>1}\), a tak właśnie musi być, by \(\displaystyle{ x\in \NN^{+}}\), oba czynniki są większe niż trzy. No i ta liczba jest całkowita, bo jeśli
któraś z \(\displaystyle{ m,n}\) dzieli się przez trzy, to \(\displaystyle{ 3|mn\left(m^{2}-n^{2}\right)}\), a jeśli żadna z nich nie dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\), to kwadraty przystają do \(\displaystyle{ 1\pmod{3}}\), tj. \(\displaystyle{ m^{2}-n^{2}\equiv 0\pmod{3}, \ 3|mn\left(m^{2}-n^{2}\right)}\)
i dostajemy
\(\displaystyle{ z^{2}+\frac{2}{3}xy=r^{2}\left(\left(m^{2}+n^{2}\right)^{2}+\frac{4}{3}mn\left(m^{2}-n^{2}\right)\right)}\)
Pozostaje zauważyć, że
\(\displaystyle{ \left(\left(m^{2}+n^{2}\right)^{2}+\frac{4}{3}mn\left(m^{2}-n^{2}\right)\right)=\frac{1}{3}\left(3m^{2}-2mn+n^{2}\right)\left(m^{2}+2mn+3n^{2}\right)}\)
i o ile \(\displaystyle{ m>1}\), a tak właśnie musi być, by \(\displaystyle{ x\in \NN^{+}}\), oba czynniki są większe niż trzy. No i ta liczba jest całkowita, bo jeśli
któraś z \(\displaystyle{ m,n}\) dzieli się przez trzy, to \(\displaystyle{ 3|mn\left(m^{2}-n^{2}\right)}\), a jeśli żadna z nich nie dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\), to kwadraty przystają do \(\displaystyle{ 1\pmod{3}}\), tj. \(\displaystyle{ m^{2}-n^{2}\equiv 0\pmod{3}, \ 3|mn\left(m^{2}-n^{2}\right)}\)